1、第3讲函数的奇偶性与周期性考纲解读1.了解函数奇偶性的含义2会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性(重点)3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(重点)考向预测从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点预测2021年高考会侧重以下三点：函数奇偶性的判断及应用；函数周期性的判断及应用；综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(
2、x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1概念辨析(1)“ab0”是“函数f(x)在区间a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件()(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函
3、数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称()(5)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(6)若T为yf(x)的一个周期，那么nT(nZ)也是函数f(x)的周期()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6) 2小题热身(1)下列函数中为奇函数的是()Ayx2sinx Byx2cosxCy|ln x| Dy2x答案A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数(2)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.答案1解析因为f(x)是R上周期为2的函数，所以f(3)f(1)1，f(4)f(2)2，所以f
4、(3)f(4)121.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_.答案5解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2)f(2)(221)5，f(0)0，所以f(2)f(0)5.(4)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.答案3解析因为函数yf(x)是偶函数，所以f(1)f(1)，因为函数yf(x)的图象关于直线x2对称，所以f(1)f(3)3.综上可知，f(1)3.(5)设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5解析因为函数f(x)是奇函数
5、，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，观察图象可知，不等式f(x)0的解集为(2,0)(2,5题型 一函数的奇偶性 角度1判断函数的奇偶性1(2020成都市高三阶段考试)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A B C D答案D解析因为yf(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，由f(|x|)f(|x|)，知是偶函数；由f(x)f(x)f(x)，知是奇函数；由yf(x)是定义在R上的奇函数，且yx是定义在R上的奇函数，奇奇偶，知是偶函数；由f(x)(x)f(x)x，知是奇函数2判断下列函数的奇偶性
6、：(1)f(x)；(2)f(x)(1x) ；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由0得1x1，所以f(x)的定义域为1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数(3)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意
7、x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数角度2奇函数、偶函数性质的应用3(2019衡水模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x0时，f(x)xln x，则x0时，f(x)()Axln x Bxln (x)Cxln x Dxln (x)答案B解析设x0，则x0，所以f(x)xln (x)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xln (x)4设函数f(x)的最大值为M，最小值为N，则(MN1)2020的值为()A1 B2 C22020 D32020答案A解析由已知xR，f(x)1.令g(x)，易知g(x)为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，
8、所以MNf(x)maxf(x)ming(x)max1g(x)min12，所以(MN1)20201.5若f(x)ln (e3x1)ax是偶函数，则a_.答案解析解法一：因为f(x)ln (e3x1)ax是偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)ln (e3x1)axln axln axln (1e3x)3xaxln (e3x1)ax，所以3aa，解得a.解法二：函数f(x)ln (e3x1)ax为偶函数，故f(x)f(x)，即ln (e3x1)axln (e3x1)ax，化简得ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得e2ax3x1.所以2ax3x0，解得a.1判断函数奇偶性的三种方法(1
9、)定义法(如举例说明2)(2)图象法(3)性质法(如举例说明1()，4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出如举例说明3.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值如举例说明5.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5
10、)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值如举例说明4.注意：对于定义域为I的奇函数f(x)，若0I，则f(0)0. 1已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于()A3 B C. D3答案A解析由已知得，f(0)20m0.解得m1.当x0时，f(x)2x1，所以f(2)f(2)(221)3.2(2019辽宁名校联考)函数yx2lg 的图象()A关于x轴对称 B关于原点对称C关于直线yx对称 D关于y轴对称答案B解析记f(x)x2lg ，定义域为(，2)(2，)f(x)(x)2lg x2lg x2lg f(x)，f(x)为奇函数，即函
11、数yx2lg 的图象关于原点对称3(2020武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)答案D解析f(x)g(x)ex，f(x)g(x)ex，又f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)ex，由解得g(x).故选D.题型 二函数的周期性 1(2019温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是()Af(2x) Bf C2f(x) Df(x2)答案A解析由已知得f(xT)f(x)，所以f(2xT)f(2x)，即ff(2x)，
12、所以函数f(2x)的周期是；ff，即ff，所以函数f的周期是2T；2f(xT)2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，当x0，2)时，f(x)xex，则f(2020)_.答案1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x0,2)时，f(x)xex，所以f(2020)f(50540)f(0)0e01.1求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数yf(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么T
13、就是函数yf(x)的周期非零常数T容易确定的函数，如举例说明1递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(xa)与f(x)的关系式，如举例说明2换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(xa)f(xa)，令xat，则xta，则f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bxa)f(bxc)型关系式2函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体
14、问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期如举例说明2. 1(2019绵阳模拟)函数f(x)则f(9)_.答案1解析f(9)f(94)f(5)f(54)f(1)2111.2已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为_答案7解析因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点有7个题型 三函数性质的综合应用 角度1单
15、调性与奇偶性结合1(2019成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x0时，f(x)单调递减，若f(2a)f(1a)，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(2a)f(1a)f(|2a|)f(|1a|)，又当x0时，f(x)单调递减，所以|2a|1a|，所以(2a)2(1a)2，即3a22a10，解得1a.角度2周期性与奇偶性结合2(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50答案C解析因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，且满
16、足f(1x)f(1x)，所以f(1x)f(x1)，f(x4)f1(x3)f(x2)f(x2)f1(x1)f(x)f(x)所以f(x)是周期为4的函数因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为f(2)f(24)f(2)f(2)，所以f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，故选C.角度3单调性、奇偶性和周期性结合3(2019青岛二中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x2)f(x)；f(x2)为奇函数；当x0，1)时，0(x1x2)恒成
17、立，则f，f(4)，f的大小关系正确的是()Aff(4)fBf(4)ffCff(4)fDfff(4)答案C解析由f(x2)f(x)可知函数f(x)的周期为2，所以f(x)f(x2)，又f(x2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，所以fff，f(4)f(422)f(0)0.fff，又x0,1)时，f(x)单调递增故奇函数f(x)在(1,1)上单调递增所以ff(0)f，即ff(4)f.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具
18、有相反的单调性如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解如举例说明3. 1已知函数f(x)(mxn)(x1)为偶函数，且在(，0)上单调递增，则f(2x)0的解集为()A(1,3) B(，1)(3，)C(1,1) D(，1)(1，)答案A解析f(x)(x1)(mxn)mx2(nm)xn.函数f(x)(mxn)(x1)为偶函数，f(x)f(x)即mx2(nm)xnmx2
19、(nm)xn，得(nm)(nm)，即nm0，则mn，则f(x)mx2m，f(x)在(，0)上单调递增，m0，由f(2x)0，得m(2x)2m0，即(2x)210，得x24x30，得1x3，即不等式的解集为(1,3)2(2019广东珠海模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)，f(x)f(x)，且在0,1上有f(x)x2，则f()A. B. C D答案D解析因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，因为f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(2x)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，所以ffff，因为在0,1上有f(x)x2，所以f
20、2，所以ff.3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因为f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期T8，所以f(25)f(1)，f(11)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(0)，又因为奇函数f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，所以f(25)f(80)f(11) 组基础关1(2019武威模拟)下列函数中，既是奇
21、函数，又在区间(0，)上单调递增的是()Af(x)exex Bf(x)tanxCf(x)x Df(x)|x|答案A解析f(x)|x|是偶函数，排除D；f(x)x在(0，)上先减后增，排除C；f(x)tanx在(0，)上不是单调函数，排除B；f(x)exex符合题意2函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示，则函数yf(x)g(x)的图象可能为()答案A解析因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以yf(x)g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x时，yf(x)g(x)0，所以只有选项A符合题意，故选A.3(2020烟台适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，且满足f(x)
22、若ff，则f(5a)等于()A. B C. D.答案B解析由于函数f(x)的周期为2，所以ffa，ff，所以a，所以a，因此f(5a)f(3)f(1)1.故选B.4已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)()A2 B3 C4 D5答案D解析yf(x)x是偶函数，f(x)(x)f(x)x，f(x)f(x)2x，令x2，则f(2)f(2)45，故选D.5(2019成都模拟)若函数f(x)1的图象关于原点对称，则实数a等于()A2 B1 C1 D2答案A解析由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即110,1a12a0，解得a2.6(2019合肥模拟)已知偶函数f(x)
23、在0，)上单调递增，则对实数a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(|b|)f(b)因为f(x)在0，)上单调递增，a|b|0.所以f(a)f(|b|)f(b)若f(a)f(b)举反例f(3)f(3)f(1)，而3|1|.故由f(a)f(b)无法得到a|b|.所以“a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件7(2020沈阳市高三质检)已知函数f(x)，实数a，b满足不等式f(2ab)f(43b)0，则下列不等关系恒成立的是()Aba2 Ba2b2Cba2 Da2b2答案C解
24、析由题意知f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2ab)f(43b)0，得f(2ab)f(43b)f(3b4)，故2ab3b4，即ba2.故选C.8已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)lg x，则f的值为_答案lg 2解析由已知得flg 2.f(2)f(2)lg 2，所以flg 2.9已知奇函数f(x)(xR)满足f(x4)f(x2)，且当x3,0)时，f(x)3sinx，则f(2021)_.答案4解析因为函数f(x)(xR)为奇函数满足f(x4)f(x2)，所以f(x6)f(x)，即函数f(x)是以6为周期的周期函数，因为当x3,
25、0)时，f(x)3sinx，所以f(2021)f(33761)f(1)3sin4.10(2020甘肃天水摸底)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)log2(x1)，则函数f(x)在1,2上的解析式是_答案f(x)log2(3x)解析因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x0,1时，f(x)log2(x1)所以设x1,2，则x21,0，2x0,1所以f(2x)log2(2x)1log2(3x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x2)f(2x)log2(3x)组能力关1已知p：a1，q：函数f(x)ln (x)为奇函数，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必
26、要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析若函数f(x)ln (x)为奇函数，则f(x)f(x)ln (x)ln (x)ln a20，解得a1.所以p是q成立的充分必要条件2已知函数f(x)是定义在区间a，a(a0)上的奇函数，若g(x)f(x)2019，则g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B1 C2019 D4038答案D解析因为函数f(x)是定义在区间a，a上的奇函数，所以f(x)maxf(x)min0，所以g(x)maxg(x)minf(x)max2019f(x)min2019f(x)maxf(x)min40384038.3(2019南阳模拟)函数f(x)是周期为
27、4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)答案C解析若x2,0，则x0,2，当x0,2时，f(x)x1，f(x)x1，f(x)是偶函数，f(x)x1f(x)，即当x2,0时，f(x)x1，即在一个周期2,2内，f(x)若x2,4，则x42,0，即f(x)f(x4)(x4)1x3，x2,4，作出函数f(x)在2,4上的图象如图：则当x1,3时，不等式xf(x)0等价为或即1x3或1x0在1,3上的解集为(1,0)(1,3)4已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，
28、x2，都有0，记a，b，c，则()Aacb Babc Ccba Dbca答案A解析设00，得，所以函数g(x)在(0，)上单调递减，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，因此ag(4.10.2)g(1)，bg(0.42.1)g(0.42)g(0.5)，cg(log0.24.1)g(log4.1)g(log54.1)g(log54.1)(g(1)，g(0.5)，即acb，故选A.5若函数f(x)x为偶函数，则a_.答案1或1解析令u(x)1，根据函数f(x)x为偶函数，可知u(x)1为奇函数，利用u(0)10，可得a21，所以a1或a1.6(2019河
29、北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在2,0上是增函数，下面是关于f(x)的判断：f(x)的图象关于点P(1,0)对称；f(0)是函数f(x)的最大值；f(x)在2,3上是减函数；f(x0)f(4kx0)，kZ.其中正确的是_(正确的序号都填上)答案解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以正确；由f(x2)f(x)知，f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)f(4kx0)(kZ)，所以正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在2,0上是增函数，所以f(x)在2,4上也是增函数，因此不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以正确所以正确的判断是.
