1、第 4 讲椭圆一、选择题1中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281y2721 B.x281y291 C.x281y2451 D.x281y2361 解析 依题意知：2a18，a9,2c132a，c3，b2a2c281972，椭圆方程为x281y2721.答案 A 2椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.52解析 因为 A，B 为左、右顶点，F1，F2 为左、右焦点，所以|AF1
2、|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即 a25c2.所以离心率 eca 55，故选 B.答案 B3已知椭圆 x2my21 的离心率 e12，1，则实数 m 的取值范围是()A.0，34B.43，C.0，34 43，D.34，1 1，43解析 椭圆标准方程为 x2y21m1.当 m1 时，e211m14，1，解得 m43；当 0m1 时，e21m11m1m14，1，解得 0mb0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为 F，FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为()A.31
3、2 B.512 C.1 54 D.314 解析 根据已知 a2b2a2(ac)2，即 c2aca20，即 e2e10，解得e1 52，故所求的椭圆的离心率为 512.答案 B 6已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32.双曲线 x2y21 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为()A.x28y221 B.x212y261C.x216y241 D.x220y251解析 因为椭圆的离心率为 32，所以 eca 32，c234a2，c234a2a2b2，所以 b214a2，即 a24b2.双曲线的渐近线方程为 yx，代入椭圆方
4、程得x2a2x2b21，即 x24b2x2b25x24b21，所以 x245b2，x 25b，y245b2，y 25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为25b，25b，所以四边形的面积为4 25b 25b165 b216，所以 b25，所以椭圆方程为x220y251.答案 D二、填空题7设 F1、F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为_ 解析 由题意知|OM|12|PF2|3，|PF2|6.|PF1|2564.答案 4 8在等差数列an中，a2a311，a2a3a421，则椭圆 C：
5、x2a6y2a51 的离心率为_解析 由题意，得 a410，设公差为 d，则 a3a2(10d)(102d)203d11，d3，a5a4d13，a6a42d16a5，e 16134 34.答案 349.椭圆31222yx=1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍 解析 不妨设 F1（3，0），F2（3，0）由条件得 P（3，23），即|PF2|=23，|PF1|=2147，因此|PF1|=7|PF2|.答案 7 10.如图，OFB6，ABF 的面积为 2 3，则以 OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程
6、为_解析 设标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由题可知，|OF|c，|OB|b，|BF|a，OFB6，bc 33，a2b.SABF12|AF|BO|12(ac)b12(2b 3b)b2 3，b22，b 2，a2 2，椭圆的方程为x28y221.答案 x28y221三、解答题11如图，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|45|PD|.(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的长度 解(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，由已
7、知得 xPx，yP54y，P 在圆上，x254y225，即 C 的方程为x225y2161.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3)，设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程 y45(x3)代入 C 的方程，得 x225x2251，即 x23x80.x13 412，x23 412.线段 AB 的长度为|AB|x1x22y1y22 11625x1x22 412541415.12设 F1，F2 分别为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F1 到直线
8、l 的距离为 2 3.(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果AF2 2F2B，求椭圆 C 的方程解(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c2 3，故 c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF2 2F2B 及 l 的倾斜角为 60，知 y10，直线 l 的方程为 y 3(x2)由y 3x2，x2a2y2b21消去 x，整理得(3a2b2)y24 3b2y3b40.解得 y1 3b222a3a2b2，y2 3b222a3a2b2.因为AF2 2F2B，所以y12y2，即 3b222a3a2b22 3b222a3a2b2
9、，解得 a3.而 a2b24，所以 b25.故椭圆 C 的方程为x29y251.13 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线xy20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(0,1)，Q(0,2)设 M，N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证：点 T 在椭圆 C 上(1)解 由题意知，b 22 2.因为离心率 eca 32，所以ba1ca212.所以 a2 2.所以椭圆 C 的方程为x28y221.(2)证明 由题意可设 M，N 的坐标
10、分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线 PM 的方程为 yy01x0 x1，直线 QN 的方程为 yy02x0 x2.法一 联立解得 xx02y03，y3y042y03，即 Tx02y03，3y042y03.由x208 y2021，可得 x2084y20.因为18x02y032123y042y032x2043y04282y03284y2043y04282y03232y2096y07282y03282y03282y0321，所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上法二 设 T(x，y)，联立解得 x0 x2y3，y03y42y3.因为x208y2021，所以18x2
11、y32123y42y321.整理得x283y422(2y3)2，所以x289y22 12y84y212y9，即x28y221.所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上14如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，线段 OF1，OF2 的中点分别为 B1，B2，且AB1B2 是面积为 4 的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB2，求直线 l 的方程解(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为 F2(c,0)因AB1B2 是直
12、角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2 为直角，因此|OA|OB2|，得 bc2.结合 c2a2b2 得 4b2a2b2，故 a25b2，c24b2，所以离心率 eca25 5.在 RtAB1B2 中，OAB1B2，故 SAB1B212|B1B2|OA|OB2|OA|c2bb2.由题设条件 SAB1B24 得 b24，从而 a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：x220y241.(2)由(1)知 B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线 l 的倾斜角不为 0，故可设直线 l的方程为 xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1，y2 是上面方程的两根，因此 y1y2 4mm25，y1y2 16m25，又B2P(x12，y1)，B2Q(x22，y2)，所以B2P B2Q(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616m21m25 16m2m251616m264m25，由 PB2QB2，得B2P B2Q 0，即 16m2640，解得 m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为 x2y20 和 x2y20.