1、第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 专题六 解析几何 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015福建)若双曲线 E：x29y2161 的左，右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3 解析 由双曲线定义|PF2|PF1|2a，|PF1|3，P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9，故选B.B1 2 3 42.(2014课标全国)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ，则|QF|等于()
2、A.72B.52C.3 D.21 2 3 4解析 FP4FQ，|FP|4|FQ|，|PQ|PF|34.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，|PQ|PF|QQ|AF|34，|QQ|3,根据抛物线定义可知|QQ|QF|3,故选C.答案 C 1 2 3 43.(2015福建)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B两点.若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34 C.32，1D.34，11 2 3 4解析 如图，
3、设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设 M(0，b)，则4b5 45，1b2.离心率 ecac2a2a2b2a24b240，32,故选 A.答案 A 1 2 3 44.(2014安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的一条渐近线方程是 y3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为()A.x22y261 B.x26y221C.x2y231 D.x23y21解析 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，
4、故可知ba 3，又焦点坐标为(2,0)，c a2b22，解得 a1，b 3.双曲线方程为 x2y231.答案 C 思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.跟踪演练 1(1)(2014大纲全国)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于A、B 两点.若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y281 D.x212y2
5、41解析 由 e 33 得ca 33.又AF1B 的周长为 4 3，由椭圆定义，得 4a4 3，得 a 3，代入得c1，b2a2c22，故 C 的方程为x23y221.答案 A(2)(2014江西)过双曲线 C：x2a2y2b21 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C的方程为()A.x24y2121 B.x27y291C.x28y281 D.x212y241解析 由 xa，ybax，得xa，yb，A(a，b).由题意知右焦点到原点的距离为c4，(a4)2(b)24，即(a4)2b
6、216.而 a2b216，a2，b2 3.双曲线 C 的方程为x24y2121.答案 A 热点二 圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为 eca1(ba)2；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为 eca1(ba)2.2.双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系.例 2(1)椭圆：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y 3(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_.解析 直线 y 3(xc)
7、过点 F1(c,0)，且倾斜角为 60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在 RtMF1F2 中，|MF1|c，|MF2|3c，所以该椭圆的离心率 e2c2a2cc 3c 31.31(2)已知双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1作圆 x2y2a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，且|BC|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()A.y3xB.y2 2xC.y(31)xD.y(31)x解析 由题意作出示意图，易得直线 BC 的斜率为ab，cosCF1F2bc，又由双曲线的定义及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF
8、2|BF1|2a|BF2|4a，故 cosCF1F2bc4a24c216a222a2c b22ab2a20(ba)22(ba)20ba1 3，故双曲线的渐近线方程为 y(31)x.答案 C 思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.跟踪演练 2(1)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离
9、心率为()A.36B.13C.12D.33解析 因为PF2F1F2，PF1F230，所以|PF2|2ctan 302 33 c，|PF1|4 33 c.又|PF1|PF2|6 33 c2a，所以ca 13 33，即椭圆 C 的离心率为 33.答案 D(2)(2015重庆)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(1,0)(0,1)B.(，1)(1，)C.(2，0)(0，
10、2)D.(，2)(2，)解析 由题作出图象如图所示.由x2a2y2b21 可知 A(a,0)，F(c,0).易得 Bc，b2a，Cc，b2a.kABb2acab2a(ca)，kCDa(ac)b2.kACb2aacb2a(ac)，kBDa(ac)b2.lBD：yb2a a(ac)b2(xc)，即 ya(ac)b2xac(ac)b2b2a，lCD：yb2a a(ac)b2(xc)，即 ya(ac)b2xac(ac)b2b2a.xDcb4a2(ac).点 D 到 BC 的距离为b4a2(ac).b4a2(ca)aa2b2ac，b4b2，0b2a21.0bab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直
11、线交椭圆于 A，B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程有，x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得，(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20.线段AB的中点坐标为(1，1)，x1x22，y1y22 代入上式得：y1y2x1x2b2a2.直线 AB 的斜率为013112，b2a212a22b2，右焦点为F(3,0)，a2b2c29，解得a218，b29，又此时点(1，1)在椭圆内，椭圆方程
12、为x218y291.答案 D 高考押题精练 1 21.已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的一条渐近线上有两点 A，B，若直线 l 的方程为 x 2y20，且 ABl，则椭圆x2a2y2b21 的离心率为()A.14B.12 C.22D.321 2押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点.解析 由条件可知直线 l 的斜率为 22，又 ABl，可知直线 AB 的斜率为 2，故ab 2，故a2b22，由此可知 ab0，则椭圆的焦点在x轴上，1 2设椭圆的焦距为 2c，则a2a2c22，解得椭圆的离心率为ca 22.答案 C 1 22.已知椭圆 C：x2
13、a2y2b21(ab0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AOB 的面积为6 27，求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程.1 2押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.解(1)由题意可得 eca12，又 a2b2c2，所以 b234a2.因为椭圆 C 经过点(1，32)，所以 1a29434a21，1 2解得a2，所以b23，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)由(1)知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由xty1，x24y231消去 x，得(43t2)y26ty90，显然0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1 2则 y1y26t43t2，y1y2943t2，所以|y1y2|(y1y2)24y1y236t2(43t2)2 3643t212t2143t2，所以 SAOB12|F1O|y1y2|6t2143t2 6 27，化简得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，1 2解得 t211，t221718(舍去)，又圆 O 的半径 r|0t01|1t211t2，所以 r 22，故圆 O 的方程为 x2y212.谢谢观看 更多精彩内容请登录：