1、第十二章选修4系列第1讲坐标系考纲解读1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换2了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化(重点)3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测2021年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换题型为解答题，属中、低档题型.1.伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，
2、简称伸缩变换2极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：1概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为.()(3)过极点作倾斜角为的直线的极坐标方程可表示为或.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2asin.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysinx的方程变为()A
3、ysin2x B.y3sinxCysin D.y3sin2x答案D解析由已知得代入ysinx，得ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程变为y3sin2x.(2)在极坐标系中A，B两点间的距离为_答案6解析解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|OA|OB|6.解法二：A，B的直角坐标为A(1，)，B(2,2)，|AB|6.(3)曲线C1：与曲线C2：sin的交点坐标为_答案解析将代入sin，得sin，所以1，所以曲线C1与曲线C2的交点坐标为.(4)在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为_答案(R)和cos2解析圆2cos与极轴的交点的极坐
4、标为(0,0)和(2,0)过这两个点垂直于极轴的两条直线即为所求，它们的方程分别为(R)和cos2.题型 一平面直角坐标系中的伸缩变换 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆1.解设伸缩变换为由题知1，即2x22y21.与x2y21比较系数，得故所以伸缩变换为即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆1.伸缩变换后方程的求法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程见举例说明提
5、醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x，y).若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解由题意，把变换公式代入曲线y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.题型 二极坐标与直角坐标的互化 以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程解(1)，siny，可化为sin2，曲线的直角坐标方程为x2
6、4y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，根据题意3，解得0或0，直线l的极坐标方程为(R)或(R)1求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程2极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos及ysin直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos，sin，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧3极角的
7、确定由tan确定角时，应根据点P所在象限取最小正角(1)当x0时，角才能由tan按上述方法确定(2)当x0时，tan没有意义，这时可分三种情况处理：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，y0，为参数)，直线C2：yx，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；(2)直线C3：(R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，OAB的面积为6，求实数m的值解(1)由题意消去曲线C1的参数，得曲线C1的普通方程为(xm)2y2m2.xcos，ysin，曲线C1的极坐标方程为2mcos.直线C2的极坐标方程
8、为(R)(2)由得A.由得B.SOABA|B |sinAOB6，即mmsin6，解得m28.又m0，m2.组能力关1(2020贵州适应性测试)在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为4cos，曲线C2的极坐标方程为cos2sin.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|OB|的取值范围解(1)由曲线C2的极坐标方程为cos2sin，两边同乘以，得2cos2sin，故曲线C2的直角坐标方程为x2y.(2)射线l的极坐标方程为，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA
9、|4cos，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|，|OA|OB|4cos4tan.0)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.,(1)当0时，求0及l的极坐标方程；,(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，,所以当0时，04sin2.,由已知得|OP|OA|cos2.,设Q(，)为l上除P外的任意一点,在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，
10、且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，.3在平面直角坐标系xOy中，直线C1：xy10，曲线C2：(为参数，a0)，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；(2)曲线C3的极坐标方程为0(0)，其中tan02，0，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点若|OB|3|OA|，求a的值解(1)由消去参数，得C2的普通方程为x2(y1)2a2.C2是以(0,1)为圆心，a为半径的圆xcos，ysin，C2的极坐标方程为(cos)2(sin1)2a2，即C2的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲
11、线C3的极坐标方程为0(0)，tan02，0，曲线C3的直角坐标方程为y2x(x0)，sin0.由解得A.|OA|.|OB|3|OA|，|OB|2.故点B的极坐标为(2，0)，代入22sin1a20，得a.4(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，所以M1的极坐标方程为2cos，M2的极坐标方程为2sin，M3的极坐标方程为2cos.(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos，解得；若，则2sin，解得或；若，则2cos，解得.综上，P的极坐标为或或或.