1、学案55曲线与方程导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系自主梳理1曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)_都是这个方程的_(2)以这个方程的解为坐标的点都是_，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质3求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示_；(2)写出适合条件p的
2、点M的集合P_；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为_；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_自我检测1(2011湛江月考)已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线中点的轨迹方程是()Ay2x2 By8x2C2y8x21 D2y8x212一动圆与圆O：x2y21外切，而与圆C：x2y26x80内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()A双曲线的一支 B椭圆C抛物线 D圆3(2011佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲线是()A直线l B与l垂直的一条直
3、线C与l平行的一条直线 D与l平行的两条直线4若M、N为两个定点且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5(2011江西)若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A(，) B(，0)(0，)C， D(，)(，)探究点一直接法求轨迹方程例1动点P与两定点A(a,0)，B(a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线变式迁移1已知两点M(2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为_探究点二定义法求轨迹方程例2(2011包头模拟)已知两
4、个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线变式迁移2在ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是()A.1 (y0)B.1 (x0)C.1 (y0)的左支D.1 (y0)的右支探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3如图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程变式迁移3已知长为1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且.求点P的轨迹C的方程分
5、类讨论思想的应用例(12分)过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程多角度审题要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程【答题模板】解(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k10.因为l1l2，所以l2的斜率为，l1的方程为ybk1(xa)，l2的方程为yb(xa)，在中令y0，得M点的横坐标为x1a，4分在中令x0，得N点的纵坐标为y1b，6分设MN中点P的坐标为(x，y)
6、，则有消去k1，得2ax2bya2b20 (x)8分(2)当l1平行于y轴时，MN中点为，其坐标满足方程.综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax2bya2b20.12分【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在【易错点剖析】当AMx轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点.1求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方
7、法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，y表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、
8、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程2本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线的一支 D抛物线2(2011唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|3，|CB|CA|2，则点C的轨迹为()A双曲线 B双曲线的一支C椭圆 D线段3长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，2，则点C的轨迹是()A线段 B圆 C椭圆 D双曲线4(2011银
9、川模拟)如图，圆O：x2y216，A(2，0)，B(2,0)为两个定点直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()A双曲线 B椭圆C抛物线 D圆5已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|MF2|2，则动点M的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一个分支C两条射线 D一条射线二、填空题(每小题4分，共12分)6已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_7(2011泰安月考)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_
10、8平面上有三点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_三、解答题(共38分)9(12分)已知抛物线y24px (p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于点M，求点M的轨迹方程10(12分)(2009宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线11(14分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，)和F2(0，)为焦点、离心率为
11、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且.求：(1)点M的轨迹方程；(2)|的最小值学案55曲线与方程自主梳理1(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点M的坐标(2)M|p(M)(4)最简形式(5)曲线上自我检测1C2.A3.C4.A5BC1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)当m0时，C2：y0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m0时，要满足题意，需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m，即直线处于两切线之间时满足题意，则m0或0m.综上知m0或0mB0，表示焦
12、点在x轴上的椭圆；2AB0，表示圆；30A0B，表示焦点在x轴上的双曲线；5A0B，表示焦点在y轴上的双曲线；6A，B0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)若k0，(*)式可化为1.1当1k0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点)；2当k1时，(*)式即x2y2a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B两点)；3当k1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)变式迁移1y28x解析由题意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|0，(x2)4y00，移项两边平方，化简得y28x.例2解题导引(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差
13、为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|34.点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，
14、b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (xb0)连接MO，由三角形的中位线可得|F1M|MO|a (a|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆2BA、B是两个定点，|CB|CA|24|AB|.根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆5D因为|F1F2|2，|MF1|MF2|2，所以轨迹为一条射线64解析设P(x，y)，由题知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圆的面积为4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法设A(x，y)，y0，则D，|CD| 3.化简得(x10)2y236，A、B、C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.
15、方法二定义法如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AECD交x轴于E，则E(10,0)|CD|3，|AE|6，A到E的距离为常数6.A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x10)2y236.又A、B、C不共线，故A点纵坐标y0.故A点轨迹方程为(x10)2y236 (y0)8y28x解析，.，0，得2x0，得y28x.9解设M(x，y)，直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb.由OMAB得k.设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由y24px及ykxb消去y，得k2x2x(2kb4p)b20，所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0，所以y1y2.(4分
16、)由OAOB，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入，得x2y24px0 (x0)(10分)AB斜率不存在时，经验证也符合上式故M的轨迹方程为x2y24px0 (x0)(12分)10解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得又b2a2c2，b，所以椭圆C的方程为1.(4分)(2)设M(x，y)，其中x4,4，由已知2及点P在椭圆C上可得2，整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4(5分)当时，化简得9y2112，所以点M的轨迹方程为y(4x4)轨迹是两条平行于x轴的线段(7分)当时，方程变形为1，其中x4,4当0时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分当b0，由得，所以曲线C的方程为x21(0x1,0y2)(3分)y2(0x1)，y.设P(x0，y0)，因为P在C上，有0x01，y2)(10分)(2)|2x2y2，y24，所以|2x215459，当且仅当x21，即x时，上式取等号故|的最小值为3.(14分)