1、每日一题规范练(第六周)题目1(本小题满分12分)在ABC中，.(1)求A的大小；(2)若a10，b8，求ABC的面积S.解：(1)因为，由题意，可得.所以sin Bcos Acos Csin Asin Ccos A，即sin Bcos Asin(AC)sin B.因为B(0，)，所以sin B0，所以cos A.因为A(0，)，所以A.(2)因为a10，b8，所以102(8)2c228c，解之得c14或c2，所以Sbcsin A56或Sbcsin A8.题目2(本小题满分12分)已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2n12p(nN*)(1)求p的值及数列an的通项公式；(2)若数列b
2、n满足(3p)anbn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为Sn2n12p(nN*)，所以a1S142p，当n2时，anSnSn12n.由于an是等比数列，所以a142p2，则p1，因此an2n(nN*)(2)由(3p)anbn2anbn，得2n22nbn，所以bn.Tn.Tn得Tn，所以Tn12，因此Tn2.题目3(本小题满分12分)为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”的号召，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，将木兰溪流经市区河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如下表：南岸7792848674768171
3、8587北岸72877883838575899095(1)记评分在80以上(包括80)为优良从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；(2)根据表中数据完成下面茎叶图；(3)分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？解：(1)从10段中任取一段的基本事件为(77，72)，(92，87)，(84，78)，(86，83)，(74，83)，(76，85)，(81，75)，(71，89)，(85，90)，(87，95)共10个，这些基本事件是等可能的用A表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A包含的基本事件为：(92，87)，(86，
4、83)，(85，90)，(87，95)共4个，所以P(A).(2)根据表中数据完成下面茎叶图(2)南岸10段的分值数据的中位数z182.5，南岸10段分值数据的平均数：x181.3.北岸10段分值数据的中位数z284，北岸10段分值数据的平均数：x283.7.由z1z2，x1x2，可看出北岸保护更好题目4(本小题满分12分)如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，ABC是正三角形，AB1，AE2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30，CE平面ADF.(1)试确定F的位置；(2)求三棱锥ACDF的体积解：(1)连接BE交AD于点O，连接OF，因为CE平面ADF，CE平面BE
5、C，平面ADF平面BECOF，所以CEOF.因为O是BE的中点，所以F是BC的中点(2)因为BC与平面ABD所成角为30，BCAB1，所以C到平面ABD的距离为hBCsin 30.因为AE2，所以VACDFVFACDVBACDVCABD12.题目5(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)经过点M，离心率为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若A1，A2分别是椭圆E的左、右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点(不同于椭圆E的四个顶点)，连接PA1交直线l于点B，点Q为线段A2B的中点，求证：直线PQ与椭圆E只有一个公共点(1)解：依题意得所以椭圆E的标准方程为1.(2)证
6、明：设P(x0，y0)(x00且x0)，则直线PA1的方程为y(x)，令x，得B，则线段A2B的中点Q，所以直线PQ的斜率kPQ.因为P是椭圆E上的点，所以x3，代入式，得kPQ，所以直线PQ的方程为yy0(xx0)，联立方程式整理得x22x0xx0，因为0，所以直线PQ与椭圆E相切，故直线PQ与椭圆E只有一个公共点题目6(本小题满分12分)已知函数f(x)x2aln x(a0)的最小值是1.(1)求a；(2)若关于x的方程f2(x)ex6mf(x)9mex0在区间1，)有唯一的实根，求m的取值范围解：(1)f(x)2x(x0)所以，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)minf
7、ln ，由题意，可得ln 1，即ln 10，记g(a)ln 1(a0)，则函数g(a)的零点即为方程ln 1的根；由于g(a)ln ，故a2时，g(2)0，且0a2时，g(a)0；a2时，g(a)0.所以a2是函数g(a)的唯一极大值点，所以g(a)g(2)，又g(2)0，所以a2.(2)由条件可得f2(x)e2x6mf(x)ex9m0，令h(x)f(x)ex(x22ln x)ex，则h(x)ex，令r(x)x22x2ln x(x1)，则r(x)2x22x0，r(x)在区间1，)内单调递增，所以h(x)h(1)e；所以原问题等价于方程t26mt9m0在区间e，)内有唯一解，当0时可得m0或m1
8、，经检验m1满足条件当0时可得m0或m1，所以e26me9m0，解之得m，综上可知，m的取值范围是.题目7请考生在1、2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分1(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程为4cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积解：(1)对于曲线C，由4cos ，得24cos ，所以x2y24x.对于l：由(t为参数)，消去t可得y(x5)，化为一般式可得xy50.(2)由(1)可知C为圆，且圆心为(2，0)，半径为2，所以弦心距d，所以弦长|PQ|2，所以以PQ为边的圆C的内接矩形面积S2d|PQ|3.2(本小题满分10分)已知函数f(x)|ax2|.(1)当a2时，解不等式f(x)x1；(2)若关于x的不等式f(x)f(x)有实数解，求m的取值范围解：(1)当a2时，不等式为|2x2|x1，当x1时，不等式化为2x2x1，解得x3.当x1时，不等式化为22xx1，解得x.综上所述，解集为(3，)(2)因为f(x)f(x)|ax2|ax2|ax2ax2|4，所以f(x)f(x)的最小值为4，因为f(x)f(x)有实数解，所以4，则0m.故实数m的取值范围为.