1、8.1.3向量数量积的坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算(重点)2能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式(重点、难点)3能根据向量的坐标判定两个向量垂直(重点)1通过推导向量数量积的坐标运算及通过求夹角与模，体会逻辑推理素养与数学运算素养培养学生数学抽象的数学素养2利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望”，如果能为平面向量的数量积
2、插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究问题在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a(3,2)，b(2,1)，则ab的值为多少？ab的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab为多少？提示由题意知，a3i2j，b2ij，则ab(3i2j)(2ij)6i27ij2j2.由于i2ii1，j2jj1，ij0，故ab8.83221；abx1x2y1y2.1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个
3、非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？提示公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序2三个重要公式(1)向量的模：a2xy|a|.(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角公式：cosa，b.思考：已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，问a与b夹角的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？提示(1)当为锐角或零角x1x2y1y20；(
4、2)当为直角x1x2y1y20；(3)当为钝角或平角x1x2y1y20.1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)若a(m,0)，则|a|m.()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为钝角，则x1y1x2y20.()提示(1).若a(m,0)，则|a|m|.(2).abx1x2y1y20.(3).a，b为钝角，则x1x2y1y20，且a与b不能共线，建立不等式求的取值范围(1)D因为a(1,2)，b(2，x)，a与b垂直，所以ab0，即122x0，解得x1.故选D(2)解由于a(1,3)，b(2，)，则a
5、b23，当120 时，cos 120 ，得，平方整理得13224120，解得，由于ab230，所以0，且cos 1，因为ab|a|b|cos 0，所以ab0，即1230，解得.若ab，则1230，即6.但若ab，则0或，这与为锐角相矛盾，所以6.综上所述，且6.利用向量法求夹角的方法技巧(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cosa，b，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角(2)非零向量a与b的夹角与向量的数量积的关系：若为直角，则充要条件为向量ab，则转化为ab0x1x2y1y20.若为锐角，则充要条件为ab0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)若为钝角，则充要条件为ab0，且a
6、与b的夹角不能为(即a与b的方向不能相反)2已知a(sin ，cos )，|b|2.(1)若向量b在a方向上的投影的数量为1，求ab及a与b的夹角；(2)若ab与b垂直，求|2ab|.解(1)由向量数量积的几何意义知，ab等于|a|与b在a方向上的投影的数量的乘积，所以ab1(1)1.设a与b的夹角，0，则cos ，所以.(2)若ab与b垂直，则(ab)babb20，所以ab4，所以|2ab|2.向量数量积的坐标公式的综合问题【例3】在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动(1)求证：为定值；(2)求的最大值思路探究(1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，
7、利用向量的坐标计算数量积(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值解法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，|cos BCE|21(定值)(2)如图，作CNEM，垂足为N，则EBMCNM，得，所以EMMNCMMB，所以|cos CEN|(|cos CEN)|(|)|2|2 |21，所以当点E在点A时，取得最大值.法二：(坐标法)以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x0,1, (1)(1x,1)(0,1)1(定值)(2)
8、由上述可知，C(1,1)，M，则(1x,1)(1x)2，当x0,1时，(1x)2单调递减，当x0时，取得最大值.解决向量数量积的最值的方法技巧(1)“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.(2)“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.3(1)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2B CD1(2)在矩形ABCD中， AB3，AD1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且
9、满足，则的取值范围是_(1)B(2)1,9(1)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22，当x0，y时，()取得最小值为，选B(2)分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，设M(3，b)，N(x,1)，因为，所以b，则(x,1)， 故x1(0x3)，所以1x19，所以的取值范围是1,91掌握3个公式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则
10、abx1x2y1y2.(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，可由cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.2求向量模的最值(范围)的2种方法代数法把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解3.辨明1个易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或的特殊情况1已知a(1,2)，b(6，3)，则必有()AabBb3aCabDb3aC由a(1,2)，b(6，3)，得162(3)0ab2已知向量a(
11、2,2)，b(0，3)，则a与b的夹角为()A45B60 C120D135D因为向量a(2,2)，b(0，3)，则ab6，|a|2，|b|3，则cosa，b，又0a，b180，所以a与b的夹角为135.3已知向量 a(1，1)，向量b(1,2)，则(2ab)a_.1由向量a(1，1)，b(1,2)，得2ab(1,0)，所以(2ab)a(1,0)(1，1)110(1)1.4(一题两空)已知向量a(2,4)，b(2,2)，若ca(ab)b，则|c|_，cosa，b_.6由题知ab2(2)424，所以ca4b(6,12)，|c|6.cosa，b.5已知平面向量a(2,2)，b(x，1)(1)若ab，求x；(2)若a(a2b)，求a与b所成夹角的余弦值解(1)因为ab，所以22x0，可得x1.(2)依题意a2b(22x,4)，因为a(a2b)，所以a(a2b)0，即44x80，解得x3，所以b(3，1)所以cosa，b.