1、专题突破练13空间几何体的结构、表面积与体积一、单项选择题1.(2021湖北武汉月考)某圆锥的母线长为2,底面半径为,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为() A.2B.C.D.12.(2021山东德州期末)阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切,球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其中圆柱的表面积为12,则该模型中球的体积为()A.8B.4C.D.3.(2021山东潍坊一模)某中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装
2、盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后沿虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的体积为()A.144B.72C.36D.244.(2021山东济南一模)在菱形ABCD中,AB=BD=2,将ABD沿BD折起,使二面角A-BD-C的大小为60,则三棱锥A-BCD的体积为()A.B.C.D.25.(2021湖北宜昌期末)正多面体的各个面都是全等的正多边形,其中,面数最少的正多面体是正四面体,面数最多的正多面体是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.某些病毒,如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳.如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的.已知多面体满足顶点数-棱数+面数
3、=2,则正二十面体的顶点的个数为()A.30B.20C.12D.106.(2021全国甲,理11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.B.C.D.7.(2021广东广州二模)某学生用薄铁皮制作一个圆柱,圆柱的表面积为8,则该圆柱的外接球的表面积的最小值为()A.4(-1)B.8(-1)C.4(+1)D.8(+1)二、多项选择题8.(2021山东淄博三模)已知正四棱台的上底面边长为1,侧棱长为2,高为,则()A.棱台的侧面积为8B.棱台的体积为13C.棱台的侧棱与底面所成的角为D.棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为9.(
4、2021河北保定二模)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4R3B.圆锥的侧面积为R2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为312三、填空题10.(2021广东佛山二模)将一个边长为2的正三角形以其中一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的表面积为.11.(2021辽宁二模)已知三棱锥S-ABC的三条棱SA,SB,SC两两互相垂直,且AC=,AB=,该三棱锥的外接球的表面积为14,则BC=.12.(2021山东烟台二模)在一次综合实践活动中,某手工制作小组利用硬纸板做了一个几何模型如图所示,底面
5、ABCD是边长为4的正方形,半圆面APD底面ABCD.经研究发现,当点P在半圆弧上(不含点A,D)运动时,三棱锥P-ABD的外接球始终保持不变,则该外接球的表面积为.专题突破练13空间几何体的结构、表面积与体积1.A解析 如图,设截面为SMN,P为MN的中点,O为底面圆的圆心,OP=x(0x),由题意可知SB=2,OB=,则SO=1,SP=,MN=2,所以SSMN=MNSP=因为0x0,r0,得0r2.又R2=r2+-2,所以该圆柱的外接球的表面积S=4R2=44(2-2)=8(-1),当且仅当,即r=时,等号成立.故选B.8.AC解析 如图,过点A1作A1HAB于点H,过点A1作A1MAC于
6、点M,则A1M平面ABCD,AHMH,所以AM=又因为AH=MH,所以AH=1,所以A1H=,AB=21+1=3.所以棱台的侧面积为4=8所以A正确.因为上底面面积S=1,下底面面积S=9,所以棱台的体积为(S+S)A1M=1313所以B错误.因为A1AM为侧棱A1A与底面所成的角,cosA1AM=,所以A1AM=所以C正确.因为A1HM为侧面AA1B1B与底面所成二面角的平面角,sinA1HM=,所以D错误.故选AC.9.BD解析 依题意,圆柱的底面半径为R,高为2R,则圆柱的体积为R22R=2R3,故A错误.由已知得圆锥的底面半径为R,高为2R,母线长为R,则圆锥的侧面积为RR=R2,故B
7、正确.因为圆柱的侧面积为4R2,圆锥的表面积为R2+R2,所以C错误.因为V圆柱=2R3,V圆锥=R22R=R3,V球=R3,所以V圆柱V圆锥V球=2R3R3R3=312,故D正确,故选BD.10.4解析 由题意可知所得几何体为两个同底的圆锥组成的组合体,圆锥的底面半径为,母线长为2,则所求表面积为22=411解析 设SA=x,SB=y,SC=z,三棱锥S-ABC的外接球的半径为R,由题意可得x2+z2=13,x2+y2=5,y2+z2=BC2,x2+y2+z2=(2R)2=4R2,4R2=14,所以x2=4,y2=1,z2=9,所以BC=12.32解析 取BD的中点O,连接OA,OP(图略),由题意可知OA=OB=OD=2因为ABAD,平面APD平面ABCD,平面APD平面ABCD=AD,AB平面ABCD,所以AB平面APD,所以ABPD.又点P在半圆弧上,所以APPD.又APAB=A,所以PD平面APB,所以PDPB.在RtPBD中,因为O为BD的中点,所以OP=OB=OD,所以OA=OB=OD=OP,即O为三棱锥P-ABD的外接球的球心,所以外接球的半径R=OA=2,表面积S=4R2=32.