1、江西省重点中学协作体 2021 届高三第一次联考数学（文）试卷2021.2注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合22|log1,|230AxxBx xx，则 AB（）A(,2)B(0,2)C(1,2)D(,3)2若202112zii，则|z （）A0B1C 2D23设问 na是等差
2、数列，且1232341,2aaaaaa，则678aaa（）A5B6C16D324有 3 位男生和 2 位女生在周日去参加社区志愿活动，从该 5 位同学中任取 3 人，至少有 1 名女生的概率为（）A 110B 25C 35D 9105江西省重点中学协作体于 2020 年进行了一次校际数学竞赛，共有 100 名同学参赛，经过评判，这 100名参赛者的得分都在40,90 之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A得分在40,60)之间的共有 40 人B从这 100 名参赛者中随机选取 1 人，其得分在60,80)的概率为 0.5C这 100 名参赛者得分的中位数为 65D可求得0.
3、005a 6已知圆22:60C xyx，过点(6,4)P向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（）A 725B 2425C725D24257已知函数()sin23cos2f xxx，则下列说法正确的是（）A()f x 的最大值是13B()f x 在 0,2上是递增的C551212fxfxD()f x 向右平移 6 后为奇函数8设23ln55a，32ln55b，33ln55c，则 a，b，c 的大小关系是（）AacbBabcCcbaDbca9执行右边的程序框图，则输出的n （）A87B89C91D9310增减算法统宗中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有
4、根高 2 丈的圆木柱，该圆木的周长为 3 尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木 7 周，刚好长的和圆木一样高已知 1 丈等于 10 尺，则能推算出该葛长为（）A21 尺B25C29 尺D33 尺11已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e，2e，且满足215ee，1F，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF，则双曲线2C 的离心率为（）A 2B3C2D 32212菱形 ABCD 中，2AB，120DAB，将 CBD沿 BD 折起，C 点变为 E 点，当四面体 EABD的体积最大时，四面体 EABD的外接球的面积
5、为（）A20B40C60D80二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 zxy的最小值为_14单调递增的等比数列 na满足12312314,64aaaaa a，令2lognnba，则11nnbb 的前 10项和为_15在 ABC中，O 为中线 AM 上的中点，若2AM，则()OAOBOC等于_16已知311()(1)22xxf xxxee，其中 e 是自然对数的底数，若(ln)(1)0faf a，则实数 a 的取值范围是_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试
6、题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17（12 分）高三学生小明这段时间比较焦虑，下表记录了小明高三阶段前 5 次模拟考试的数学成绩：第 x 次考试12345数学成绩 y110115110125140（1）由散点图可以推断小明的数学成绩 y 与第 x 次考试线性相关，请预测小明在第 6 次考试（高考）的数学成绩大约为多少分？（2）为取得更好的成绩，他现在准备突破导数问题，现假定他在训练某道解答题时发现有两种方法可以求解；第一种方法需要 3 个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为 0.9，第二种方法需要 2 个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为 0.85，若以最终解题正确的
7、概率高低为决策依据，小明在解该道导数题时应选择哪种方法？参考公式：1122211,nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx18（12 分）锐角 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2a（1）若3,2ABCSAB AC，求B；（2）若2BA，求 b 的取值范围19（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD 与平面 PDC 均与底面 ABCD垂直，E 为 BC 的中点，若22 2BCCD，3PE（1）求证：面 PAE 面 PDB；（2）求点 C 与平面 PAE 的距离20（12 分）已知函数3211()ln332af
8、xxxxx（1）若1a，求()f x 在1x 处的切线方程；（2）若()f x 有 2 个极值点，求实数 a 的取值范围21（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点(0,1)A，点 B 在直线1y 上，点 M 满足 MB OA，MA ABMB BA 点 M 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）点 P 在曲线 C 上，且横坐标为 2，问：是否在曲线 C 上存在 D，E 两点，使得 DPE是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明 DPE的个数；若不存在，说明理由选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数
9、方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cossinkkxtyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 2cos3 sin120（1）当2k 时，求出1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状（2）当1k 时，P 是曲线1C 上一点，Q 是曲线2C 上一点，求 PQ的最小值23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数()2|2|f xxx（1）求不等式()4f x 的解集；（2）记()f x 的最小值为 M，a，b，c 为正实数且3abcM，求证：2226bcaabc江西省重点中学协作体2021 届高三第一次联考数
10、学（文）试卷参考答案命题人：上饶中学俞振鹰潭一中欧阳福查一、选择题：本題共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1B2C3B4D5C6A7C8A9B10C11C12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 114101115 216(0,1)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17解：（1）3x，120y，2 分22222(2)(10)(1)(5)0(10)1 5220205
11、5407(2)(1)01210b ，1207399a ，则线性回归方程为799yx5 分当6x 时，7699141y，预测第 6 次的数学成绩约为 141 分6 分（2）10.90.90.90.729p，8 分20.85 0.850.7225p，10 分因为21pp，所以选择第一种方法12 分参考公式：1122211,nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx18（12 分）解：（1）依 题 意 得 1sin32 bcA，cos2bcA，可 得 tan3A，3A，由 余 弦 定 理 得2242cosbcbcA，得228bc，而4bc，解得2bc，故 ABC为等边三角形
12、，3B；6 分（2）依题意，由正弦定理得 sinsinsin22sincosabbbABAAA，则4cosbA；由于是锐角三角形，则 0,02,03222ABACA，得64A，则b的 取 值 范 围 为(2 2,2 3)12 分19（12 分）（1）证：平面 PAD 底面 ABCD，平面 PDC 底面 ABCD，则交线 PD 底面 ABCD，则 PDAE，2 分底面 ABCD 为矩形，22 2BCCD，则 BECDABBC，BAEDBC，则 BDAE，则 AE 面PBD，4 分AE 面 PAE，则面 PAE 面 PDB；6 分（2）设 C 点到面 PAE 的距离为 d，由2CE，2CD，故6E
13、D，又3PE，则3PD，116223323P AECV，8 分记 AE 与 BD 的 交 为 M，则 PM 为PAE的 高，2 3BD，4 33MD，则5 33PM，115 35 26 3236C PAEVdd10 分因为P AECC PAEVV，求得2 35d 12 分20（12 分）解：（1）依 题 意 得，32111()ln332f xxxxx，117(1)19218f ，22211()3ln1ln133fxxxxxxxx，(1)0kf，则 切 线 方 程 为718y 4 分（2）()f x 有 2 个极值点，则222211()3ln1ln133fxxxxxaxxxax 有 2 个零点（
14、且左右异号），则1lnaxxx在0 x 上有 2 解，6 分令1()lnF xxxx，0 x，则21()ln1,0F xxxx，8 分可知()F x在0 x 上单调递增，(1)0F，则当1x 时，()0F x，当01x时，()0F x，故()F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，10 分故最小值为(1)1F，则1a 12 分21（12 分）解：因为 MA ABMB BA ，所以()()()0MAMBABMAMBMBMA则|MAMB，即M 到 A 点的距离等于 M 到直线1y 的距离，故 M 是以 A 为焦点，以直线1y 为准线的抛物线，方程为24xy4 分（2）可知(2,1)P，
15、设1122,D x yE xy，直线 PD 的斜率为 k，则直线 PE 的斜率为1k，则:1(2)PDlyk x，联立抛物线方程24xy，消 y 可得24840 xkxk，则有142xk，21(44)1441ykkkk，同 理 可 得242xk，22441ykk，由 PDPE，可 得222222414(44)(44)44kkkkkk，整 理 得 2222141(44)14kkkk，即2221(1)1kkk，则有1(1)1k kk（1）或1(1)1k kk（2），将1kk 后，（1）即为（2）所以分析（1）即可10 分（1）令32()1f kkkk，2()321(31)(1)fkkkkk，当1k
16、 或13k 时，()0fk，当113k时，()0fk，故极大值为32111111111033332793f ，极小值为32(1)111 130f ，故32()1f kkkk只有 1 个零点综上有 1 个 PDE，是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形12 分解法 2：设点1122,D x yE xy，则中点1212,22xxyyQ，122212121218241622PQyyxxkxxxx，2112214DEyyxxkxx，124PDxk，224PExk，因为三角形是以 P 为直角项点的等腰直角三角形，所以1PDPEkk ，得1212220 x xxx（1）8 分由1PQDEkk ，即21212
17、126428xxx xxx，整理得21212123242xxx xxx，代入（1）式有 21212123224202xxxxxx（2），10 分若120 xx，则 DEx 轴，此时 PQx轴，不成立令12,(0)txxt，则23222402ttt（3），即32448640(0)tttt令32()44864g tttt，2()3848g ttt，0，开口向上，所以()g t恒大于 0，则()g t 单调递增，又(1)0g，(2)0g，故()g t 只有一个零点，则方程（3）只有一解，即存在 1 个 DPE，是以P 为直角顶点的等腰直角12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中
18、任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）解：（1）当2k 时，消 t 得22,0,0 xyxy，3 分是以(2,0)A，(0,1)B为端点的线段5 分（2）当1k 时，曲线1C 的的普通方程为椭圆：2214xy；曲线2C 的的普通方程为直线：23120 xy；7 分可知直线与椭圆相离，则 PQ 的最小值为 P 到直线的距离最小值8 分则|4cos3sin12|5sin()12|125sin()131313ttttd，当 sin()1t时，有 最 小 值7 131310 分23选修 4-5：不等式选讲（10 分）解：（1）依题意得32,2()2,0223,0 xxf xxxxx，3 分由()4f x，解得2|23xx；5 分（2）由32,2()2,0223,0 xxf xxxx x，可知()f x 的最小值为 2，7 分（3）因为6abc，则有22baba，22cbcb，22acac，相加可得222612bcaabc，2226bcaabc9 分当且仅当2abc时取等号10 分