1、山东省日照第一中学2021届高三数学第二次联合考试试题（含解析）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】转化条件为、，再由交集的定义即可得解.【详解】因为，所以故选：D.2. “”是“”的（ ）A.
2、充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据与的互相推出情况确定出属于何种条件.【详解】当时，成立，所以充分性满足，由，得到，所以必要性不满足，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含.3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.
3、 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.4. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得，由定义在上的奇函数且在上单调递减，可得，的大小关系.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减且，所以，且在上单调递减又，所以，而，所以，所以.故选:A.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的性质
4、与应用，考查学生分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于基础题.5. 为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前( )分钟进行消毒工作A. 30B. 40C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】计算函数解析式，取，计算得到答案.【详解】根据图像：函数过点，故，当时，取，解得小时分钟.故选：.【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6
5、. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，角的终边绕原点逆时针旋转后经过点，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据三角函数定义得，再根据诱导公式求.【详解】根据题意得所以，故选：B【点睛】本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A.D的差异在于两肩位置的改变是否
6、平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.故选A.8. 已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在上的单调相同时，实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可求出，然后可得在上单调递增，即可得在上恒成立，然后求出左边的最小值即可.【详解】函数在定义域上是单调函数，且，为定值，设，则，且，解之得，在上的单调递增，在上与在上的单调性相同，在上恒成立，在上恒成立，.故选：C【点睛】易错点睛：若在上单调递增，则，若在上单调递减，则，容易把等号漏掉.二、多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9. 在的展开式中，下列说法正
7、确的有（ ）A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为0C. 常数项为20D. 二项式系数最大的项为第3项【答案】AB【解析】【分析】由二项式系数为可判断A；令可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD.【详解】解：A. 所有项的二项式系数和为，故A正确，B.令得所有项的系数和为，故B正确，C.常数项为，故C错误，D.展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D错误.故选：AB.10. 设函数，则（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t|
8、 的单调性，由复合函数的单调性得答案【详解】解：由，得x又f（x）ln|2x+1|ln|2x1|（ln|2x+1|ln|2x1|）f（x），f（x）为奇函数；由f（x）ln|2x+1|ln|2x1|，可得内层函数t| 的图象如图，在（，）上单调递减，在（，）上单调递增，在（，+）上单调递减又对数式ylnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递减故选：BCD【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题方法点睛：复合函数单调性（1）先求内层函数的单调性；（2）判断外层函数的单调性；（3）依据同增异减的原则，判断整体函数的单调性.11.
9、 在正方体中，点在线段上运动，则（ ）A. 直线平面B. 三棱锥的体积为定值C. 异面直线与所成角的取值范围是D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】BD【解析】【分析】在A中，推导出A1C1BD1，DC1BD1，从而直线BD1平面A1C1D，得出矛盾，在B中，由B1C平面 A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由A1C1D的面积是定值，从而三棱锥PA1C1D的体积为定值；在C中，异面直线与A1D所成角的取值范用是；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值【详解】A错，如图，
10、连接，由正方体可得，且平面，则，所以平面，故；同理，连接，易证得，则平面，若直线平面，则平面平面这与平面与平面相交矛盾，所以A错；B正确，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值；C错，由, 当点与线段的端点重合时，与所成角为60；设的中点为,当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角在在中,，所以 在中，不变，逐渐变小.所以逐渐增大，当点与重合时，异面直线与所成角为 所以异面直线与所成角的取值范围是,所以C不正确.D正确，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1， 则
11、， 由前面可得，平面，所以 为平面的一个法向量直线C1M与平面所成角的正弦值为 ： 当时，有最大值 所以直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D正确故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的判断，异面直线所成角以及线面角，解答本题的关键是设的中点为,当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角，分析其变化情况，利用向量的方程得到，从而得到最值，属于中档题.12. 在中，、分别是、上的点，与交于，且，则（ ）A. B. C. D. 在方向上的正射影的数量为【答案】BCD【解析】【分析】根据以及正弦定理得到，从而求出，进一步得到，等边三角形，根据题目条件可以得到为的中点和为的三
12、等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由得，正弦定理，同理：，所以，等边三角形.，为的中点，为的三等分点.如图建立坐标系，解得，为的中点，所以，正确，故B正确；，故A错误；，故C正确；，投影，故D正确.故选：BCD.【点睛】如何求向量在向量上的投影，用向量的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式进行求解.三、填空题13. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有算数书九章算术周髀算经孙子算经等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有_种(请用数字
13、作答)【答案】36【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4本著作分为3组，再将分好的三组全排列，分配给3人，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行分析：将4本著作分为3组，有种分法，将分好的三组全排列，分配给3人，有种情况，则有种不同的阅读方案,故答案为：36.【点睛】本题考查排列与组合，先分组后排列，属于基础题.14. 已知，则的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】整理，得，的巧用，再用基本不等式.【详解】由得：；,（当且仅当，即时取等号），的最小值为9.故答案为:9【点睛】注意点点睛:用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，“一正”所指字母或式必须为正值；
14、“二定”求最小值积为定值，求最大值和为定值；“三相等”取最值时相应变量值可取.15. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由，得到的外接圆的圆心为BD的中点，再由底面，由截面圆的性质得到球的球心为侧棱的中点求解.【详解】如图所示：因为，所以，的外接圆的圆心为BD的中点，又底面，由截面圆的性质得：球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为，利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.故答案为：16. 已知函数，若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实
15、数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】变量分离，构造函数，求导确定极值，画图数形结合.【详解】，则，设，则，令，所以或，在上递减，在上递增，在上递减，取极小值，在取极大值，作图，时，由图知在下方图象中只有一个整数点，故答案为: 【点睛】方法点睛：含参数恒成立求参数值或范围：变量分离；构造新函数；对新函数求导，确定其极值最值.四、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在，两个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角，的对边分别为，.若，_，求的面积.【答案】选：；选：.【解析】【分析】选根据，由正弦定理得，再结合，利用余弦定理求得c，代入公式求解；选根据，由两
16、角和的正弦公式求得，然后由正弦定理求得b,代入公式求解.【详解】选，由正弦定理得.，.又，.选，且两角均为三角形内角，由正弦定理得，.【点睛】方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等18. 已知数列的前项和为，.数列为等比数列，且，分别为数列第一项和第二项.（1）求数列与数列的通项公式；（2）若数列，设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，利用数列通项和前n项和的关系 求得，进而利用“”法求得.（2）由（1）得到，再
17、利用裂项相消法和等比数列前n项和公式求解.【详解】（1）由题意，数列的前项和为， 当时，当时，当时也满足上式所以数列的通项公式为.设数列的首项为，公比为，因为，分别为数列第一项和第二项，所以，.（2）因为，所以，所以：，.因为，所以是单调递增数列，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)
18、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解19. 已知函数，其中实数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，试讨论的单调性.【答案】（1）.（2）在区间，上是增函数，在区间，上是减函数.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数及在点处的值，然后求出在该点的切线方程；（2）根据函数的导数与极值的关系求出的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性.试题解析：（1）当时，而，因此曲
19、线在点处的切线方程为，即.（2），由（1）知，即，解得.此时，其定义域为，且，由得，.当或时，；当且时，综上，在区间，上是增函数，在区间，上是减函数.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，函数的导数与单调性和极值的关系，函数在某点处取得极值即在该点处导数为0，由，得函数单调递增，得函数单调递减.20. 如图所示，中，四棱锥是由沿其中位线翻折而成，其中为锐角，.（1）证明：平面；（2）若，二面角的大小为，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交与点，连接，证明，即可根据线面平行的判定定理，证明结论成立；（2）以为原
20、点，为轴的正方向，为轴的正方向，竖直方向为轴建立空间直角坐标系，记在底面的投影为，且设，分别求出平面和的法向量，根据向量夹角公式由题中条件，求出，再由棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）连接交与点，连接.因为翻折前，为的中位线，所以，且，翻折后，平行关系不变，因此，所以，所以，.又平面，平面.平面.（2）因为中，沿中位线翻折，垂直关系不变，即，因此，以为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，竖直方向为轴建立空间直角坐标系.记在底面的投影为，且设.则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，不妨令，则，所以；设平面的一个法向量为，则，即，不妨令，则，即则，化简得，则，则，或（舍），即，则，又四边
21、形的面积为，故. 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.21. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米（1）当渠中水深CD为04米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且
22、使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？【答案】（1）宽16米（2）渠底宽为米【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧所在曲线方程：再根据水深CD确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：设切点 ，则切线EF的方程为 从而可根据切线方程与两直线y-1和y0得交点坐标，求出对应等腰梯形的面积，再根据导数求其最小值 试题解析：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为
23、AB2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为 因为水深CD0.4米，所以OD0.6米，在RtODM中，（米）所以MN2DM1.6米，故沟中水面宽为1.6米（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为 令y0，得，令y-1，得 设直角梯形OCFE的面积为S，则（ ） ，令 ，解得 ，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以时，面积S取得最小值，最小值为 此时，即当渠底宽为 米时，所挖的土最少考点：圆方程，圆的切线，利用导数求最值22. 设函数，.（1）设，求的最小值；（2）设，若在上为增函数
24、，求实数的取值范围；（3）求证：，时，.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1），求导得，令，得，得的单调性，进而得最小值；（2），由题意得在恒成立，参变分离得在上恒成立，求解即可；（3）由（2）知时，在上为增函数，令，则，化简得，依次累加得，不等式的两边取的次方即可.【详解】（1）已知函数，.，令，解得，或（舍），当时，在单调递减，当时，在上单调递增；在处取得最小值，.（2），在上为增函数，在上恒成立，即在上恒成立，的取值范围是.（3）证明：由（2）知时，在上为增函数，令，其中，则，则，即，即， ，累加得，.即：.【点睛】关键点点睛：证明题时采用（2）的结论，得，依次累加得，再不等式的两边取的次方化简.