1、2003年湖北省黄冈蕲春高三数学模拟试题(四)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷(选择题 60分)参考公式：三角函数的积化和差公式sincossin()sin() cossinsin()sin() coscoscos()cos()sinsincos()cos()正棱台、圆台的侧面积公式：S台侧 (cc)l(其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长)台体的体积公式：V台体(SS)h(其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1
2、.己知集合A、B(AB)，则满足ABa，b的A、B的组数共有A.4种 B.6种 C.8种 D.9种2.(理科)直线上对应t 0， t 1两点间的距离是A.1 B. C.10 D.2(文科)方程(y)(x) 0表示的图形是A.两个圆 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分3.设a，b为不相等的二实数，给出下列条件：(1)ab1，(2)ab2，(3)ab2，(4)a2b22，(5) ab1，其中能推出“a，b至少有一个大于1”的条件是A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(3)(4)(5) D.(2)(3)(4)4.在f1(x)，f2(x)x2，f3(x)2x，f4(x)四个
3、函数中，当x1x21时，使f(x1)f(x2)f()成立的函数个数是A.1 B.2 C. 3 D.45.(理科)若f(x) 2arcsin(2x1)，则 f1()的值是 A. B. C.0 D.1(文科)已知sina (|a| 1)， 且的终边在第三或第四象限，则sin等于A. B. C. D. 6.已知、b均为锐角，且sin(ab)2sin a，则a与b有大小关系满足A.a b B.a b C.a b D.a 2b7.对于已知直线a在平面上，如果直线b同时满足下列三个条件：(1)与a是异面直线；(2)与a所成的角为定值(0)；(3)与a的距离为定值d. 那么，这样的直线b 有A.2条 B.3
4、条 C.4条 D.无数条8.10个“模范学生”名额分配给编号为1，2，3的三个班，要求每个班分得的名额不小于其编号数，则不同的分配方案共有A.15种 B.12种 C.10种 D.9种9.设f (x)(1x)(1x)2(1x)3(1x)n，在f (x)中x2的系数为Tn，则等于A. B. C.1 D.210.复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为12i，2i，12i那么第四个顶点对应的复数是A.2i B. 2i C. 12i D.12i 11.以抛物线 (y2)2 4(x1)上任意点p为圆心作圆与y轴相切，则这些圆必过定点A.(1，2) B.(3，2) C.(2，2) D.(2，0)12.
5、已知椭圆 1的长轴A1A2，短轴B1B2，将坐标平面以y轴为棱折成一个二面角，使点A1在面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为A.60 B.30 C.45 D.75第II卷(非选择题 90分)姓名_学号_一大题答题表：题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上)13.现有直径为d的圆木，要把它锯成横截面是矩形的梁，从材料力学知道横断面是矩形的梁的强度Qkb2h(b为梁宽，h为梁高，k是常数)。若要使强度最大，则梁高与梁宽之比为_。14.对于实数a、b、c、d定义运算“”：(a，b)(c，d)(acbd，a
6、dbc)，那么(0，1)(0，1)等于_。15.在阳光下，平面上放着一个球，在某一时刻，球的影子达到的最远点距离与平面的切点是10米，在同一时刻，一根垂直于平面且长为1米的木杆的影长为2米(假定太阳光线是平行的)，那么球的半径为_。16.在下列四个命题中，不正确的命题的序号为_。若函数y5x的定义域为x|x0，则它的值域是y|y1；若函数y的定义域为x|x2，则它的值域是y|y0；若函数yx2的值域为y|0y9，则它的定义域是x|3x3；若函数ylgx的值域为y|y2，则它的定义域是x|x100。三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分
7、)已知复数z1，z2满足|z1|3，|z2|4，z1z222i。(1)求z1z2的模及辐角主值；(2)求复数 的辐角的余弦值。18(本小题满分12分)椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ。求椭圆离心率e的取值范围。19(本小题满分12分)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，ACBDO，其面积为2，ABC60，E、F分别为棱CC1、BB1上的点，且ECBC2FB，M是AE的中点。(1)求证：FMBO；(2)求证：平面AEF平面ACC1A1；(3)求：四棱锥ABCEF的体积；(4)求：面AEF与面ABCD所成二面角的大小。20(12
8、分)用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段。漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成，每次漂洗后可使残留物均匀分布，每次甩干后(包括洗涤后的甩干)衣物中的残留水份(含有残留物)的重量相同，设计时，将漂洗的总用水量定为a千克，漂洗并甩干的次数定为3次。为使漂洗后衣物中的残留物最少，怎样确定每次漂洗的用水量？并写出你的数学依据。【注：为了便于解决问题，可参考以下各量的字母表示.设每次甩干后衣物中的残留水份(含有残留物)的重量为m，洗涤并甩干后衣物中的残留物(不含水份)为n0，三次漂洗并甩干后衣物中的残留物(不含水份)分别为n1，n2，n3，三次用水量分别为a1，a2，a3。(以上各量单位皆为千克)】21(1
9、2分)已知f(x)log a x (a 0且a 1 )，若2，f(a1)，f(a2)，f(a3)，f(an)，2n4(nN)成等差数列。(1)求am(1mn，m、nN)的通项公式am；(2)设bnan f(an)，若bm的前n项和是Sn，当a 1时，求(3)令cn an tan an，问是否存在a，使得cm中每一项恒小于它后面的项。若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由。22(14分)已知：射线OA的方程为ykx (k0，x0)，射线OB的方程为ykx(x0)，动点P(x，y)在AOx的内部，PMOA于M，PNOB于N，四边形ONPM的面积恰为k。(1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是其
10、横坐标x的函数，求这个函数y f(x)的解析式；(2)根据k的取值范围，确定y f(x) 的定义域。2003年湖北省黄冈蕲春高三数学模拟试题(四)一、15 CBAAC 610 ADABA 1112 CB提示：6sin()sincoscossin2sin， tg。tgtg 0， 即tgtg，。二、13 14(1，0) 1510(2)米 16三、17(1)z1z24cos()isin() | z1z2|4 arg(z1z2)。(2)设arg ，则cos()。18当PQ不垂直x轴时，设椭圆方程为1 (ab0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，过F的直线为yk(xc)，将yk(xc)代入椭圆方程得
11、：(b2a2k2)x22a2k2cxa2k2c2a2b20。x1x2 ； x1x2。又OPOQ ，kOPkOQ()()1，即x1x2y1y20。而y1k(x1c) ，y2k(x2c) 。 (1k2) x1x2k2c(x1x2)k2c20，k2c20， 解得k2 ， k20， a2c2b2c2a2b20。 又由b2a2c2得：e43e210， 解得：e1。当PQx轴时，F(c，0)，|FP|，又|FQ|FP| ， 且OPOQ ，|OF|FP|， 即c ， aca2c2，e2e10， e 。综上所述：e10。19(1)连OM，则0MEC，而BFEC，0MBF。四边形BFMO为矩形，FMBD。(2)
12、BDAC，且CE平面ABCD， CEBD。 BD平面ACC1A1，而FMBD。FM平面ACC1A1，且FM平面AEF，平面AEF平面ACC1A1。(3)过A作ANBC于N，则AN面BCEF，又ABC60，SABCDAB2sin600AB22， AB2。ANABsin60， EC2， BF1。VABCEF(12)2)。(4)FMBD 平面AEF与平面ABCD的交线AH与BD平行又BD平面ACE， EAC为所求的二面角的平面角。而ACABBCEC， 故所求的角为45。20.解：由已知，得 ，解得n1 ；同样可得n2；n3。由a1a2a3a得(1)(1)(1)()3(1)3。当且仅当a1 a2 a3
13、时等号成立。n3。当且仅当a1a2a3时等号成立。则将a千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少。21解：(1)2，f (a1)，f (a2)，f (an)，2n4成等差数列，设公差为d，则2n42(n1)d，即d2。f (an)2nd2n2。即logaan2n2， ana2n2， 即ama2m2。(2)bnanf (an)2(n1)a2n2，Sn4a46a68a82(n1)a2n2 ， a2Sn4a66a62n a2n22(n1)a2n4。 得(1a2)Sn4a42a62a82a2n22(n1)a2n42a22(n1)a2n4。 Sn。当a1时 。(3)cnanlgana2n2lga2
14、n22(n1)a2n2lga ，假设存在a，使cncn1 ， 即2(n2)a2n4lga2(n1)a2n2lga2(n2)a2n2lga a20 ，当a1时，上述不等式显然成立；当0a1时，lga0，要使上述不等式成立，则有a2 ，而y 递增，且n1 ， ， a2 ， 即0a 。综上所述：存在常数a(0，)(1，)，使得cncn1 ，即cn中每一项恒小于它后面的项。22(1)设P(x，y)，M(a，ka)，N(b，kb) (a0，b0)，则|OM|a ，|ON|b 。 由动点P在AOx内部得0ykx ， |PM| ， |PN| ，SONPMSONPSOPM(|OM|PM|ON|PN|)a(kxy)b(kxy)k(ab)x(ab)yk 。 k(ab)x(ab)y2k 。 又kPM ， kPN，分别解得a ， b。代入得：x2y2k21 。y0 ， yf (x) 。(2)由0ykx得0kx 当k1时，解得：x；当0k1时，解得：x；当k1时，解得：x 。 但垂足N必须在射线OB上，y x ，即x2 ，解得：x (k1)。综上所述：当k1时，其定义域为x| x；当0k1时，其定义域为xx；当k1时，其定义域为xx。