1、第七章 不等式、推理与证明学案 33 不等式的概念与性质导学目标：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题自主梳理1不等关系不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在不等关系可分为常量与_间的不等关系(如 30)，变量与_间的不等关系(如 x5)，函数与_之间的不等关系(如 x212x)等2不等式用_(如“”“”“”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”“”连接的不等式叫做非严格不等式不等式可分为绝对不等式(不论用
2、什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)3两个实数大小的比较(1)作差法：设 a，bR，则 abab0，abab0，b0，则 ab_，ababb_；(2)传递性：ab，bc_；(3)加法性质：ab_；推论：ab，cd_；(4)乘法性质：ab，c0_；推论：ab0，cd0_；(5)乘方性质：ab0_；(6)开方性质：ab0_；(7)倒数性质：ab，ab0_.自我检测1(2011大纲全国)下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是()Aab1
3、Bab1Ca2b2Da3b32若 a，b 是任意实数，且 ab，则()Aa2b2B.ba0D.12a0，b0，则以下不等式中不一定成立的是()Aabba2Bln(ab1)0Ca2b222a2bDa3b32ab24(2011上海)若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab25(2010安徽)若 a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b 恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a b 2；a2b22；a3b33；1a1b2.探究点一 数与式的大小比较例 1 (1)设 xy2 时，比较 cn 与 anb
4、n 的大小变式迁移 1 已知 a2，b2，试比较 ab 与 ab 的大小探究点二 不等式性质的简单应用例 2 下面的推理过程abacbccdbcbd acbdadbc，其中错误之处的个数是()A0 B1 C2 D3变式迁移 2(2011许昌月考)若 ab1bB.1ab1aC|a|b|Da2b2探究点三 求字母或代数式范围问题例 3 (1)已知 12a60,15b36，求 ab 及ab的取值范围(2)设 f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围变式迁移 3(1)已知22，0，则 22的范围为_(2)(2010辽宁)已知1xy4 且 2xy3，则 z2x3y 的取值范
5、围为_(答案用区间表示)1数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键2由 M1f1(a，b)N1 和 M2f2(a，b)N2，求 g(a，b)的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大这时可以用所谓的“线性相关值”，令 g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数 p，q，于是一次相加，便可求到所需要的范围(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011开封调研)已知 a、b
6、、c 满足 cba，且 acacBc(ba)0Ccb202若 ab0，则下列不等式中恒成立的是()Abab1a1Ba1ab1bCa1bb1aD.2aba2bab3(2011金华模拟)已知 ab，则下列不等式一定成立的是()Alg alg bBa2b2C.1a2b4(2011舟山七校联考)若 ab1b和 1|a|1|b|均不能成立B.1ab1b和 1|a|1|b|均不能成立C不等式 1ab1a和a1b2b1a2 均不能成立D不等式 1|a|1|b|和a1b20，bcad0，cadb0(其中 a，b，c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命
7、题的个数是()A0B1C2D3二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6若 xy1，且 0a1，则axlogay；xaya；logxa0b，cd0 时，给出以下三个结论：adbd2；bcdc.其中正确命题的序号是_8已知20，试比较ab2 ba2与1a1b.10(12 分)比较 aabb 与 abba(a，b 为不相等的正数)的大小11(14 分)已知 a0，a22abc20，bca2.试比较 a，b，c 的大小学案 33 不等式的概念与性质自主梳理1常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)ab1 4.(1)bc(3)acbc acbd(4)acbc acbd(5)anbn(nN 且 n2)
8、(6)n an b(nN 且 n2)(7)1a1b自我检测1A 2.D 3.D 4.D5课堂活动区例 1 解题导引 比较大小有两种基本方法：(1)作差法步骤：作差变形判断差的符号作商法的步骤：作商变形判断商与 1 的大小(2)两种方法的关键是变形常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的解(1)方法一(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，xy0，xy0.(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)方法二 xy0，xyy2，xy0.(x2y2)(xy)0，(x2y2)(xy)0.0 x2y2xyx2y2xy
9、x2y2x2y22xy(x2y2)(xy)(2)a，b，c正实数，an，bn，cn0.而anbncn acn bcn.a2b2c2，则 ac2 bc21，0ac1,0bc2，acn ac2，bcn bc2.anbncn acn bcna2b2c21.anbn2，b2，a11，b11.(a1)(b1)10.ab(ab)0.abab.方法二(作商法)abab 1b1a，且 a2，b2，1a12，1b12.1b1a12121.abab 40，abbacbc，cdbcbd 都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出 acbd是正
10、确的，由 acbdadbc是对不等式 acbd 两边同除 cd，由于不知 cd 的正、负，故这一步也是错误的变式迁移 2 B ab0.取倒数，则有1a1b，选项 A 正确ab|b|和 a2b2 两个不等式均成立，选项 C、D 正确对于 B，1ab1abaab，又ab0，ab0.baab0，即 1ab1a.选项 B 不成立例 3 解题导引 第(2)题中，由于 f(x)ax2bx，所以 f(2)、f(1)和 f(1)都是关于 a，b 的代数式，由于已知 f(1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出 f(2)，通过等式两边a、b 系数相等求出待定系数，然后通过 f(1)、f(1)的范围求出 f
11、(2)的范围本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为1ab2，2ab4，求的是 z4a2b 的范围解(1)15b36，36b15.1236ab6015，即24ab45.又 1361b 115，1236ab6015.13ab4.(2)方法一 由f1abf1ab，得a12f1f1，b12f1f1.f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.方法二 设 f(2)mf(1)nf(1)，则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b，mn4，nm2，解得m3，n1.f(2)3f(1)f(1)，1f(1)2,2f(1)4
12、，5f(2)10，f(2)的取值范围是5,10变式迁移 3(1)32，(2)(3,8)解析(1)由222，由 0220，两不等式相加得：32 22.所以 22的范围为32，.(2)设 2x3y(xy)(xy)()x()y，对应系数相等，则23 12，52，从而 2x3y12(xy)52(xy)(3,8)课后练习区1A 由 cba，且 ac0，ccabac，b 可能为 0，故 A 正确baba0又c0，故 B 错误acac0又ac0ac(ac)b0，ab0，1b1a.a1bb1a.故选 C.3D 只有指数函数 y2x 在 R 上为增函数，所以 D 正确而 A、C 显然不是对于一切实数都成立的，B
13、 的等价条件是|a|b|，显然也错误4D ab0，ab1b有可能成立；又ab|b|0，则有 1|a|1|b|不成立5D 由 ab0，bcad0，即 bcad，得cadb，即cadb0；由 ab0，cadb0，即cadb，得 bcad，即 bcad0；由 bcad0，cadb0，即bcadab0，得 ab0；故可组成 3 个正确的命题63解析 xy1,0a1，axay，logaxya0，xaya，不成立又 logaxlogay 1logay.即 logxalogya，也不成立7解析 ad0，adbc，故正确；又cdd20.由已知 ab，同向不等式相加得 ac2bd2，故正确；对于结论，dc0，b
14、c 的正、负不确定，故不正确8.2，2 2，0解析 22，22，22 2.22，22 2.又0，22 0，(ab)20，abab2a2b20.ab2ba21a1b.(12 分)10解 aabbabbaaabbba abab，(4 分)当 ab0 时，ab1，ab0，abab1；(8 分)当 0ab 时，ab1，ab1.(11 分)综上所述，当 a，b 为不相等的正数时，总有 aabbabba.(12 分)11解 bca20，b，c 同号(2 分)又 a2c20，a0，ba2c22a0.c0.(4 分)由(ac)22ab2ac2a(bc)0，bc0.(6 分)当 bc0，即 bc 时，由ba2c22abca2a2c22a ca2(ac)(2a2acc2)0，b0，c0，2a2acc20.ac0，即 ac，则 aca2，b2a2，即 ba.又a22abc2(ab)20ab 与 ab 矛盾，bc0.综上，可知 acb.(14 分)