1、第九节 导数的概念及运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第九节 导数的概念及运算 双基研习面对高考 1平均变化率及瞬时变化率(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是.(2)f(x)在xx0处的瞬时变化率是.双基研习面对高考 基础梳理 fx2fx1x2x1fx0 xfx0 x2导数的概念设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当 x 无限趋近于 0 时，比值yx_无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 xx0 处可导，并称常数 A 为函数 f(x)在点 xx0 处的导数，记作 f(x0)fx0 xfx0 x思考感悟1f(x)与f(x0)有何区别与联系？提示：f(x)
2、是导函数，是一种函数，而f(x0)是导函数f(x)中x取x0时的一个函数值，f(x0)是一个数值3导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)思考感悟2函数yf(x)的一条切线l与该函数只有一个公共点对吗？提示：不正确，函数yf(x)的一条切线与函数的公共点个数至少有一个如图，正弦函数ysinx上有一点P，以点P为切点的切线与该函数还有另外的公共点4基本初等函数的导数公式(1)C0(C为常数)；(2)(xn)_，n为常数；(3)(
3、sinx)_，(cosx)=_(4)(ex)_，(ax)_；(5)(lnx)_，(logax)_.nxn1cosxsinx；exaxlna1x1xlna5两个函数的导数的四则运算法则若 u(x)，v(x)的导数都存在，则(1)(uv)_，推广：(u1u2un)u1u2un；(2)(uv)_；(3)(uv)_(v0)；(4)(mu)mu(其中 m 为常数)uvuvuvuvuvv2课前热身 1(2010年高考课标全国卷改编)曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为_答案：yx12函数yxcosxsinx，则y_.答案：xsinx3已知函数 f(x)的图象在 M(1，f(1)处的切线方程为 y1
4、2x2，则 f(1)f(1)_.答案：34已知曲线f(x)xlnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为_答案：e考点探究挑战高考 考点突破 导数的运算 导数的运算既是基础知识又是重要内容，求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算在求导数的过程中，要仔细分析解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数的求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形，对于较复杂的函数，必须先变形化简再求导求下列函数的导数(1)y(1 x)(1 1x)；(2)yln xx；(3)yxex；(4)ytan x.例1【思路分析】对于简单函数，可直接应用导数公式和运算法则求导对于复杂函
5、数，可首先考虑能否对函数变形，变形之后，往往求导更为简单一些【解】(1)y(1 x)(1 1x)1x x x12x12，y(x12)(x12)12x3212x12.(2)y(lnxx)lnxxxlnxx21xxlnxx21lnxx2.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y(sinxcosx)sinxcosxsinxcosxcos2xcosxcosxsinxsinxcos2x1cos2x.【名师点评】理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件运算过程中出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因从本例可以看
6、出：深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定的函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时才能举一反三，触类旁通，得心应手变式训练 1 求下列函数在 xx0 处的导数(1)f(x)ex1 xex1 x(x02)；(2)f(x)xx3x2lnxx2(x01)解：(1)首先 f(x)2ex1x，故 f(x)2ex2x1x2，f(2)0.(2)首先 f(x)x32xlnx，故 f(x)32x5211x，f(1)32.导数的几何意义 导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0f(x0)(xx0)一般地，切线斜率
7、的绝对值越大，变化率就越大，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，弯曲程度越小，即曲线比较平缓已知曲线 y1x.(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点 Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为13的曲线的切线方程例2【思路分析】利用导数的几何性质确定曲线在某点处的切线斜率，进而可解决曲线的切线问题【解】(1)y 1x2，又 P(1,1)是曲线上的点，P 为切点，所求切线的斜率为 kf(1)1.曲线在 P 点处的切线方程为 y1(x1)，即 yx2.(2)显然 Q(1,0)不在曲线 y1x上，则可设过该点的切线的切点为 A(a，1a)，则过该点的切线斜率为 k
8、1f(a)1a2.则切线方程为y1a 1a2(xa)将 Q(1,0)代入上面方程，得 01a1a2(1a)，解得 a12，故所求切线方程为 y4x4.(3)设切点坐标为 A(a，1a)，则切线斜率为 k2 1a213，解得 a 3，A(3，33)或 A(3，33)代入点斜式方程为 x3y2 30 或 x3y2 30.【名师点评】(1)求函数f(x)图象上点P(x0，f(x0)处的切线方程的关键在于确定过该点切线的斜率k，由导数的几何意义知kf(x0)，故当f(x0)存在时，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切线中，点P
9、不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；点P处的切线中，点P是切点(2)要准确理解曲线切线的概念：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征一方面，直线与曲线有一个公共点直线与曲线只有一个公共点，如曲线ysinx与其切线y1有无数个公共点曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y0虽然“穿过”曲线yx3，但它却是曲线yx3在点(0,0)处的切线(3)要深刻体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；割线切线变式训练 2 若函数 y13x3，求过点(1,0)的切线方程解：设过点(1,0)的切线与函数 y13x3 切于点(x0，13x30)，ky|xx0 x2|x
10、x0 x20.切线方程为 y13x30 x20(xx0)切线过点(1,0)，把该点代入切线方程得，13x30 x20(1x0)，x00 或 x032，切线方程为 y0 或 y94x94.(2010年高考湖北卷)设函数f(x)13x3a2x2bxc，其中 a0.曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切线方程为 y1.(1)确定 b、c 的值；(2)设曲线 yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0,2)证明：当 x1x2 时，f(x1)f(x2)；(3)若过点(0,2)可作曲线 yf(x)的三条不同切线，求 a 的取值范围导数几何意义的综合应用 例3【解】(1)由
11、 f(x)13x3a2x2bxc 得，f(0)c，f(x)x2axb，f(0)b.又由曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切线方程为y1，得f(0)1，f(0)0.故 b0，c1.【思路分析】(1)求导后，得f(0)，写出切线方程与y1对比；(2)由于结论为否定性的结论，可考虑反证法；(3)用数形结合转化(2)证明：f(x)13x3a2x21，f(x)x2ax.由于点(t，f(t)处的切线方程为 yf(t)f(t)(xt)，而点(0,2)在切线上，所以 2f(t)f(t)(t)，化简得23t3a2t210，即 t 满足的方程为23t3a2t210.下面用反证法推理假设 f(x1)f(x2
12、)，由于曲线 yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：23x31a2x2110，23x32a2x2210，x21ax1x22ax2.由得 x1x2a，由及 x1x2a 得x21x1x2x2234a2.又 x21x1x2x22(x1x2)2x1x2a2x1(ax1x21ax1a2(x1a2)234a234a2，故由得 x1a2，此时 x2a2与 x1x2 矛盾，所以 f(x1)f(x2)(3)由(2)知，过点(0,2)可作 yf(x)的三条切线，等价于方程 2f(t)f(t)(0t)有三个相异的实根，即等价于方程23t3a2t210 有三个相
13、异的实根设 g(t)23t3a2t21，则 g(t)2t2at2t(ta2)由于 a0，故有t(，0)0(0，a2)a2(a2，)g(t)00g(t)极大值 1极小值 1a324由 g(t)的单调性知，要使 g(t)0 有三个相异的实根，当且仅当 1a3240，即 a23 3.a 的取值范围是(23 3，)【名师点评】导数的几何意义，离不开函数求导，应准确记忆和求解，应注意切线与曲线间的关系变式训练 3 设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所
14、围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)a bx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.(2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0(1 3x20)(xx0)，即 y(x03x0)(13x20)(xx0)令 x0 得 y 6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为(0，6x0)令 yx 得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三
15、角形面积为12|6x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.方法技巧1运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区间(a，b)内导数的基本步骤：(1)分析函数yf(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果2对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可利用对数的性质转化真数为有理式或整式，求解更为方便方法感悟 3已知曲线 C：yf(x)，求过点 P(x0，y0)的曲线的切线方程，其步骤为：第一步：判定 P 点是否在曲线 C 上；第二步：求导数 yf(x
16、)；第三步：若 P 点在曲线 C 上，则所求切线方程为 yy0f(x0)(xx0)；若 P 点不在曲线上，可设切点为 P(x1，y1)，由y1fx1，y0y1fx1x0 x1 解出 x1，进而确定过 P 点的曲线 C 的切线方程为yy0f(x1)(xx0)1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1 中 n 为常数，(cosx)sinx，还要注意公式不要用混，如(ax)axlna，而不是(ax)xax1.还要特别注意(uv)uv，(uv)uv.2求切线方程时，要注意切点的坐标既在曲线上又在切线上，当不知切点时，切点的个数不一定是一个失误防范近几年的江苏高考在本部分主要考
17、查导数的求导运算法则及导数的几何意义，如2008年高考江苏卷第8题，还有在有关的解答题中，成为解答题的其中一问或一个条件预测在2012年的江苏高考中，导数的几何意义仍会出现，是考查的重点之一考向瞭望把脉高考 考情分析(本题满分14分)(2010年高考天津卷节选)已知函数f(x)xex(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)例规范解答【解】(1)f(x)(1x)ex.令f(x)0，解得x1.2分当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)0 f(x)极大值 所
18、以 f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数.6 分函数 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)，且f(1)1e.8 分(2)证明：由题意可知g(x)f(2x)，得g(x)(2x)ex2.令F(x)f(x)g(x)，即F(x)xex(x2)ex2.于是F(x)(x1)(e2x21)ex.11分当x1时，2x20，从而e2x210.又ex0，所以F(x)0，从而函数F(x)在1，)上是增函数又F(1)e1e10，所以x1时，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x).14分【名师点评】本题考查了求函数的单调区间、极值和不等式证明，试题为中高档题，考生易在第(2)问犯错误，一是不会求g(
19、x)或求错，二是求g(x)求错，三是未判断F(x)单调性直接得出F(x)F(1)0.1曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_解析：yexxex2，y|x03，切线方程为y13(x0)，y3x1，即3xy10.答案：3xy10名师预测 2若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为_解析：f(x)2ax1x，f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)0 有解，即 2ax1x0 有解，a 12x2，a(，0)答案：(，0)3若曲线f(x)x4x在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为_解析：f(x)4x31，由题意4x313，x1，故切点P(1,0)答案：(1,0)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用