1、 命题预测：函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，又是数学思想，数学方法的综合点，还是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，通过对近几年高考题的研究，如：2009年江苏卷3题，2009年山东卷10题，2009年浙江卷14题，2009年北京卷18题，2009年全国卷，11题，2009年全国卷，12题预测2011年函数内容的高考命题趋势有如下几个方面：1考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象 2函数、方程、不等式是互相关联的概念，通过对具体问题进行抽象分析，建立相应的模型函数、方程、不等式关系解决问题，是考试的又
2、一热点 3考查以导数为工具研究函数的有关问题及相关性质 4考查运用函数的思想观察问题、分析问题、解决问题，考查数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力 备考指南：针对本章近几年的高考试题的分析及最近几年命题立意的发展变化复习时宜采用以下应对策略：1对函数这一章的内容要全面掌握基础知识，要深刻理解函数的有关概念，灵活运用函数的性质去分析问题 函数有关概念多、特别是函数三要素(定义域、值域、对应法则)、反函数、函数单调性、奇偶性、最大(小)值等“三基”知识是高考出现频率最高也是最重要的基础知识，只有深刻理解概念，才能准确应用概念及性质 2充分注意函数的图象题型，学会分析并解答“读图题型”，注意函数
3、图象的平移变换，伸缩变换、对称变换，尤其要注意函数图象的对称性，注意树立运用数形结合法解题的意识 3强化函数为主干的知识网络的整体意识，充分揭示并认识函数与不等式、数列、导数、解析几何等相关知识的联立以及用函数观点解决问题的意识 通过复习揭示并认识知识间的内在联系，不仅对理解函数概念十分有益，而且可以从较高点处理有关问题，真正提高综合解题能力 4要认真准备应用题型、探索题型和综合题型，要加大训练力度要重视关于一次函数、二次函数、对数函数的综合题型，重视关于函数的数学建模问题，重视代数与解析几何的综合题型，重视运用导数解决单调性及最值的综合问题重视函数在经济活动中的应用问题，学会用函数思想和方法
4、寻求规律找出解题策略.基础知识 一、映射 1定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的,在集合B中都有的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做的映射，记作f：AB.2象与原象：给定一个集合A到B的映射，且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的，元素a叫做元素b的任何一个元素惟一集合A到集合B象原象 二、函数 1函数的定义：设A，B是非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的，叫做函数的值域任何一个数x都有惟一确定
5、的数f(x)和它对应定义域函数值的集合f(x)|xA 2函数的三要素：、和 3函数的表示方法：表示函数的常用方法：、.定义域值域对应法则解析法列表法图象法 三、反函数 1反函数的概念：函数f(x)的定义域为A，值域为B，由yf(x)求出x(y)，对于B中的，在A中x值和它对应，那么x(y)叫函数yf(x)的反函数，记作：xf1(y)，通常情况下，一般用x表示自变量，故记作：yf1(x)，注意函数yf(x)存在反函数的条件是每一个元素y都有唯一的定义域与值域是一一对应的 2互为反函数三要素之间的关系是：对应法则，定义域、值域 3求yf(x)的反函数有三个步骤：;；，显然yf(x)互换互逆求原函数
6、的值域由yf(x)解得xf1(y)(反解)将x与y互换，得yf1(x)写出反函数的定义域，即原函数的值域xf1(y)4yf(x)与yf1(x)互为反函数，若yf(x)的定义域为A，值域为B，则ff1(x)，f1f(x)5f1(a)b，即(a，b)在反函数上，则一定在原函数上，反之亦然 6互为反函数的两个函数图象关于直线对称；互为反函数的两个函数具有单调性 yf(x)与xf1(y)互为反函数，但在同一坐标系下的图象是的x(xB)x(xA)f(b)a(b，a)yx相同的相同 7定义域上的单调函数反函数，周期函数反函数，定义域为非单元素集的偶函数反函数 8若函数yf(x)的图象关于直线yx成轴对称图
7、形，则；若yf(x)与yg(x)关于yx对称，则 9分段函数的反函数需分别求出 再 10反函数问题通常转化为解决必有不存在不存在f(x)f1(x)g(x)f1(x)各段函数的反函数后合成原函数问题 11拓展：(1)点(a，b)关于直线yx的对称点为，反之亦然(2)点(a，b)关于直线yxt的对称点为，反之亦然(3)一般地，yf(xb)与yf1(xb)关于直线 对称 12如果(a，b)是yf(x)与yf1(x)的交点，那么也是二者图象的交点，并且交点在对称轴yx上(b，a)(bt)，at)yxb(b，a)不一定 13一些重要类型的反函数：(1)函数y与函数互为反函数(2)函数与函数yloga(x
8、)互为反函数 易错知识 一、对函数符号f(x)的含义不理解 1已知f(x)(xR)，则f(2)_.答案：二、对映射概念不理解 2由映射表示的函数的奇偶性是_ 答案：偶函数 3设映射f：xx22x是实数集M到实数集N的映射，若对于实数pN，在M中不存在原象，则p的取值范围是()A(1，)B1，)C(，1)D(，1 解析：如图，yx22x的最大值为1，因此p1，故选A.答案：A 三、确定映射个数时，不理解映射定义或未做到不重不漏 4映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射如Aa，b，B1,2,3从A到B可建立个映射，而从B到A只能建立个映射 5设Ma，b，c，N1,
9、2,3，则从M到N的映射个数为，从M到N满足f(a)f(b)f(c)，则这样的映射f有个98274 四、不会判断两个函数是否为同一个函数 6下列四组函数中，表示同一函数的组序号为_ f(x)|x|，g(x)；f(x)，g(x)()2；f(x)，g(x)x1；f(x)，g(x).答案：回归教材 1(1)2008年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下：月份 12345678910 11 12天数3129 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 对照课本中的函数概念上述对应是函数吗？(2)下图中，能表示函数yf(x)的图象的是()答
10、案：(1)是(2)D 2(课本P108，B组3题改编)判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射_.Ax|x是三角形，Bx|x是圆，f：每一个三角形都对应它的内切圆；Ax|x是锐角，By|0y1，f：xysinx；A在空中运行的人造卫星，B世界上的国家，f：每一颗卫星与它的制造国家对应；Ax|0 x4，By|0y2，f：xy(x2)2.答案：是，不是 3(课本P56,4题改编)某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km(含3km)，以后每1km价为1.6元(不足1km，按1km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为()答案：C 4
11、下列函数中相同的是()Af(x)x，g(x)Bf(x)x，g(x)x(xN)Cf(x)lg(x1)lg(x1)，g(x)lg(x21)Df(x)lg(1x)lg(1x)，g(x)lg(1x2)答案：D 5(2009陕西，3)函数f(x)(x4)的反函数为()Af1(x)x22(x0)Bf1(x)x22(x2)Cf1(x)x24(x0)Df1(x)x24(x2)解析：由x4得f(x)2，反函数的定义域为2，)，故可排除A、C，又由x4时得f1(x)4，则可排除D，故选B.答案：B【例1】下列对应是否为从A到B的映射？AR，BR，f：xy A，B，f：ab Ax|x0，BR，f：xy，y2x A平
12、面内的矩形，B平面内的圆，f：作矩形的外接圆 分析 解此题需要明确以下两点：集合A的元素是什么？什么是A到B的映射？解答 当x1时，y值不存在，所以不是映射 A、B两集合分别用列举法表示为A2,4,6，B，由对应法则f：ab知，是映射 不是映射，如A中元素1有两个象1.是映射 总结评述 欲判断对应f：AB是否是从A到B的映射，必须做两点工作：明确集合A，B中的元素根据对应关系判断A中的每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素 已知A1,1，映射f：AA，则对于xA，下列关系式中肯定错误的是()Af(x)x Bf(x)1 Cf(x)x2Df(x)x2 答案：D 解析：对于对应法则：f(x)x2
13、，当x1时，x23A1,1；而对应法则f(x)x，f(x)1，f(x)x2能使若xA，则f(x)A，故选D.设Mx|0 x2，Ny|0y2，给出的4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个 C2个D3个 答案：B 解析：图1中定义域为0,1与M不同，不是函数；图3中x2时，y3N，不是函数；图4中x2时，y2或y0，不是函数；只有图2能表示函数图象故选B.【例2】(2008重庆)(文)函数y10 x21(0 x1)的反函数是()命题意图 本题主要考查函数与反函数概念及定义域、值域之间的关系，属容易题关键要抓住原函数的定义域为反函数的值域这一函数的性质 解析 方法一：直接法
14、：函数y10 x21(00，x，换字母得反函数为：y(x1)故选D.方法二：特例淘汰法：因为0 x1，所以1x210，故y1，而原函数的值域是其反函数的定义域，故排除A、B，由原函数的自变量x为正数，所以其反函数的函数值y也为正数，排除C，选D.答案 D (2009四川，2)函数y2x1(xR)的反函数是()Ay1log2x(x0)Bylog2(x1)(x1)Cy1log2x(x0)Dylog2(x1)(x1)答案：C 解析：log2yx1，x1log2y.ylog2x1(x0)，故选C.(2009上海春考，15)函数y1(1x0)的反函数图象是()答案：C 解析：由函数y1(1x0)，得：x
15、21(y1)2，又因为(1x0)，所以x，因此y1(1x0)的反函数为y(x1)其图象为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆上x1，1y0的那部分，故选C.【例3】(1)(2007湖北八校二模)已知函数f(x)，那么f1(1)的值等于()A.B.C0 D2 解析 利用好对称性，不必求出反函数，即(a，b)在原来函数的图象上，(b，a)就在反函数的图象上 由f(x)1，则求得x0，所以f1(1)0，故选C.答案 C(2)(2007长沙4月模拟)设函数f(x)的图象关于点(1，)对称，且存在反函数f1(x)，若f(3)0，则f1(3)的值为()A2 B1 C2 D1 解析 由f(3)0知f(x)过点
16、(3,0)又f(x)关于点(1，)对称知f(x)过点(1,3)，因此f1(x)过点(3，1)，f1(3)1，故选D.答案 D(1)已知函数yaxb的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a_，b_.(2)已知f(x)，则f1()_.答案：(1)a3 b1(2)2 解析：由yaxb的图象过点(1,4)，ab4，又反函数的图象过点(2,0)原函数图象必过点(0,2)得a0b2，因此，a3，b1.(2)由得3x.x2，因此f1()2.总结评述：理解好反函数的概念，利用对称性：f1(a)bf(b)a，可避开求反函数的复杂运算，简单而又巧妙.【例4】下面是一个电子元件在处理数据时的流程图(
17、如下图)(1)试确定y与x的函数关系式；(2)求f(3)、f(1)的值；(3)若f(x)16，求x的值 解析 本题是一个分段函数问题，当输入值x1时，先将输入值x加2再平方得输出值y；当输入值x1时，则先将输入值平方再加2得输出值y.故(1)y.(2)f(3)(3)2211；f(1)(12)29.(3)若x1，则(x2)216，解得x2或x6(舍)；若x1，则x2216，解得x(舍)或x.x2或x.总结评述 通过实例了解简单的分段函数，并能简单应用是新课程标准的基本要求对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段
18、的解析式分别求解，但应注意要检验该值是否在自变量相应的取值范围内(2009北京朝阳4月，7)已知函数f(x)|x1|x1|.如果f(f(a)f(9)1，则实数a等于()A B1 C1 D.答案：A 解析：f(x)|x1|x1|f(9)2，f(f(a)1，2f(a)1，f(a)，2a，a，故选A.(2009汕头一模，11)已知f(x)，则f()f()的值等于_ 答案：3 解析：f()f()cos f()1cos f()2cos cos 23，故填3.1判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”但要注意：(1)A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；(2)B中元素可无原象，即B中元素可有剩余 2分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复 3只有从定义域到值域上一一映射确定的函数才有反函数，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应该是原来函数的值域