1、高考资源网（） 您身边的高考专家1正整数指数函数学 习 目 标核 心 素 养1了解正整数指数函数模型的实际背景2了解正整数指数函数的概念(重点)3理解具体的指数函数的图像特征(重点)4会用正整数指数函数解决某些实际问题(难点)1通过学习正整数指数函数的概念，提升数学抽象能力2通过利用正整数指数函数解决某些实际问题，培养数学运算素养.正整数指数函数的概念阅读教材P61P63整节有关内容，完成下列问题(1)一般地，函数yax(a0，a1，xN)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N.(2)正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数
2、指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点(3)当0a1时，yax(xN)是增函数思考：(1)y32x，xN是正整数指数函数吗？(2)比较，的大小，你有什么发现？提示(1)不是.2x的系数是3，不是1.(2)，发现：y，xN是减函数1函数f(x)(xN)，则f(2)()A.B.C. D.Df(2).2给出下列函数：yx；y4x；y()x；yx2，当xN时，是正整数指数函数的个数为()A1B2C3D4B只有不是正整数指数函数，故选B.3若2x64，则x_.6由2x64，得2x26，x6.4函数y2x，x1,2,3,4的值域是_2,4,8,16212,224,238,2416，故其值域为2,4,8
3、,16正整数指数函数的定义【例1】(1)下列函数中是正整数指数函数的是()Ay10x1，(xN)By(2)x，(xN)Cy52x，(xN)Dy，(xN)(2)函数y(a23a3)ax是正整数指数函数，则a_.(1)D(2)2(1)A中y10x1的指数为x1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y(2)x的底数20，a1，xN)与幂函数yx的区别1正整数指数函数的图像经过点，则此函数的解析式为y_，定义域为_yxN把代入yax(a0，且a1)，得a2，所以a，y，xN.正整数指数函数的图像与性质【例2】(1)画出函数y(xN)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y3x(xN)的图像，并说明
4、函数的单调性思路探究使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了解(1)函数y(xN)的图像如图所示，从图像可知，函数y(xN)是单调递减的(2)函数y3x(xN)的图像如图所示，从图像可知，函数y3x(xN)是单调递增的1正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的2当0a1时，yax(xN)是增函数2(1)函数y，xN的图像是()A一条上升的曲线B一条下降的曲线C一系列上升的点D一系列下降的点(2)函数f(x)ax(a0，a1，xN)在1,3上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a_
5、.(1)D(2)(1)由于xN且底数为，所以函数y，xN的图像是一系列下降的点(2)因为f(x)在1,3上是增加的，所以a1，所以f(x)minf(1)a，f(x)maxf(3)a3.所以a3aa，即a(a22)0.又因为a0，且a1，所以a.正整数指数函数的应用探究问题1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？提示：分裂次数(n)12345细胞个数(y)24816322请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式提示：细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y2n，
6、nN.【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份t(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数解(1)1年后该城市的人口总数为x1001001.2%100(11.2%)(万人)，2年后该城市的人口总数为x100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2(万人)，那么t年后该城市的人口总数为x100(11.2%)t(万人)，tN.(2)10年后该城市的人口总数为x100(11.2%)101001.01210(万人)1由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段2在实际问题中
7、，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式yN(1p)x表示3日本福岛核电站爆炸中释放的碘131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式解设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.经过1个周期，剩留量y150%0.51；经过2个周期，剩留量y(150%)50%0.52；经过x个周期，剩留量y0.5x(xN).1正整数指数函数的特征(1)ax的系数为1；(2)底数a0且a1；(3)指数为自变量x；(4)xN.2实际生活中与指数函数有关的函数模型(1)
8、指数增长模型：在yN(1p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间(2)复利计算公式：ya(1r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算1思考辨析(1)若yax为正整数指数函数，则a为大于零且不等于1的常数，xN.()(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点()(3)正整数指数函数的图像与直线xT(T为常数且T0)最多只有一个交点()(4)指数型函数ykax(kR，a0，且a1)，当k1且xN时即为正整数指数函数()答案(1)(2)(3)(4)2经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为_y3x，xN设yax，xN，则a29，又a0且a1，则a3.所以，y3x，xN.3若Ay|y2x，xN，Bx|xR，且x100，则AB_.2,4,8,16,32,64由2x100，得x6，又xN，则x1,2,3,4,5,6，所以，AB2,4,8,16,32,644画出函数y，xN的图像，并说明函数的单调性解函数y，xN的图像如图所示由图像可知，y，xN是单调递减的- 7 - 版权所有高考资源网