1、第二章综合过关规范限时检测(理)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2017甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域和值域相同的是(D)AyxBylgxCy2xDy解析分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案解：函数y10lgx的定义域和值域均为(0，)，函数yx的定义域和值域均为R，不满足要求；函数ylgx的定义域为(0，)，值域为R，不满足要求；函数y2x的定义域为R，值域为(0，)，不满足要求；函数y的定义域和值域均为(0，)，满足要求；故选D.2(
2、2017北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)下列函数中，既是偶函数，又在区间0,1上单调递增的是(D)AycosxByx2Cy()|x|Dy|sinx|解析cos(x)cosx，所以ycosx为偶函数，在0，上为减函数，不满足题意；yx2为开口向下的二次函数，关于y轴对称为偶函数，在(0，)上单调减，不满足题意；y()|x|，()|x|()|x|为偶函数，当x0时，y()2在(0，)上为减函数，不满足题意，f(x)|sinx|，f(x)|sin(x)|sinx|为偶函数，当x0，时，函数为增函数，故选D.3(2015新课标全国)设函数f(x)则f(2)f(log212)(C)A3B6C
3、9D12解析由于f(2)1log243，f(log212)2log21212log266，所以f(2)f(log212)9.故选C.4函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一直角坐标系下的图象大致是(C)解析f(x)1log2x的图象可由f(x)log2x的图象上移1个单位得到，且过点(，0)，(1,1)，由指数函数性质可知g(x)21x为减函数，且过点(0,2)，故选C.5(2017福建省南平市邵武七中高三上学期第一次月考数学试题)下列函数中，在(1,1)上有零点且单调递增的是(B)Aylog2(x2)By2x1Cyx2Dyx2解析逐一分析四个给定函数的单调性，并求出两个在(1,1)上
4、为增函数的函数的零点，即可得到答案解：在(1,1)上递增的函数只有ylog2(x2)和y2x1，又ylog2(x2)的零点为x1，y2x1的零点为x0.故选B.6(2017天津市静海一中高三月考调研试题)设0a，则a，a，aaa的大小关系是(D)AaaaaaBaaaaaCaaaaaDaaaaa解析aaa，aaa0，0aaaa，aa0aaaaa，故选D.7(2016广东汕头七校联考)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形的面积为(D)A.BCD解析由得两曲线交点坐标为(0,0)，(1,1)，故积分区间为0,1，所求封闭图形的面积为(x2x3)dx(x3x4)|.故选D.8(2016广东韶关十校联考)
5、设aR，若函数yexax，xR有大于1的极值点，则(C)Aa1Ca解析令yexa0，得exa.因为函数有大于1的极值点，所以aex.故选C.9(2015陕西文)设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf()，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是(C)AqrpBqrpCprqDprq解析r(f(a)f(b)(lnalnb)lnp.0ab，.又f(x)lnx在(0，)上单调递增，f()f()，prq，故选C.10(2017湖北省荆州市沙市中学高三上学期第二次月考数学试题)成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设已知仓库每月占用费y1与仓
6、库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(A)A5千米处B4千米处C3千米处D2千米处解析设仓库应建在离车站x千米处，由仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，利用给出的x10及对应的费用求出比例系数，得到y1，y2关于x的函数关系式，写出这两项费用之和，由基本不等式求最值解：设仓库应建在离车站x千米处仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，令反比例系数为m(m0)，则y1，当x10时
7、，y12，m20；每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，令正比例系数为n(n0)，则y2nx，当x10时，y210n8，n.两项费用之和：yy1y228(万元)当且仅当，即x5时，取等号仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，为8万元故选A.点拨本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答此题的关键对题意的理解，通过题意求出比例系数，是中档题11(2016山东荷泽期末)已知定义的实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集是(A)A(1，)B(，1)C(1,1)D(，1)(1
8、，)解析设F(x)f(x)2x1，则F(x)f(x)21时，F(x)0，不等式f(x)2x1的解集为(1，)故选A.12已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是(D)A0B0或C或D0或解析f(x2)f(x)，T2.又0x1时，f(x)x2，可画出函数yf(x)在一个周期内的图象如图显然a0时，yx与yx2在0,2内恰有两不同的公共点另当直线yxa与yx2(0x1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y(x2)2x1，x.A(，)，又A点在yxa上，a，选D
9、.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中的横线上)13若函数f(x)为奇函数，则a .解析f(x)是奇函数，利用赋值法，f(1)f(1).a13(1a)，解得a.14(2017西藏自治区拉萨中学高三上学期第一次月考数学试题)函数f(x)log2(x2)x2的零点个数为_2_个.解析令f(x)0得log2(x2)x2，画出这两个函数如下图所示，由图可知，零点为2个点拨对于函数与方程，常考：1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解函数零点的求法：(代数法)求方程f(x)
10、0的实数根；(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点15(2016全国卷，5分)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)lnx3x，则f(x)3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.16对于定义在R上的函数f(x)有以下四个命题：若yf(x)是奇函数，则yf(x1)的图象关于A(1,0)对称；若对于任意xR，有f(x1)f(x1)，则f(x)关于直线x1对称；函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于直线x1对称；如果函数yf(x)满足f(x1)f(1x)，f(x3)f(3x)，那么该函数以4为周期其中正
11、确命题的序号为_.解析奇函数图象右移一个单位，对称中心变为(1,0)，故正确；若对于任意xR，有f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)，故错误；两函数图象关于直线x0对称，故错误；f(x1)f(1x)f(2x)3f3(2x)f(5x)，f(x)f(x4)，该函数以4为周期，故正确三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，其中a，b为实数.(1)求a，b的值；(2)用定义证明f(x)在R上是减函数解析(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，可得b1.又f(1)f(1)，所以，解得a1
12、.经检验，当a1且b1时，f(x)，满足f(x)是R上的奇函数(2)由(1)得f(x)1，任取实数x1，x2，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数18(本小题满分12分)已知函数f(x)log(x22ax3).(1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；(2)若f(1)3，求f(x)的单调区间；(3)是否存在实数a，使f(x)在(，2)上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由解析(1)因为f(x)的定义域为R，所以x22ax30对xR恒成立，因此必有0，即4a2120.解
13、得a.故a的取值范围是(，)(2)由f(1)3得(42a)3.所以42a8，所以a2.这时f(x)(x24x3)，由x24x30得x3或x1，故函数定义域为(，1)(3，)令g(x)x24x3.则g(x)在(，1)上单调递减，在(3，)上单调递增，又ylogx在(0，)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(，1)，单调递减区间是(3，)(3)不存在实数a，使f(x)在(，2)上为增函数，理由如下：令g(x)x22ax3，要使f(x)在(，2)上为增函数，应使g(x)在(，2)上单调递减，且恒大于0.因此即不等式组无解所以不存在实数a，使f(x)在(，2)上为增函数19(本小题满分12分)(
14、2017福建省南平市邵武七中高三上学期第一次月考数学试题)已知函数f(x)(2a)x2(1lnx)a.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0，)无零点，求a的最小值解析(1)对f(x)求导，计算其单调区间，注意到定义域的范围(2)将f(x)的表达式重新组合，即f(x)(2a)(x1)2lnx，分别研究函数m(x)(2a)(x1)，h(x)2lnx，x0，讨论当a2时和当a2时的情况解：(1)当a1时，f(x)x12lnx，则f(x)1，定义域x(0，)，由f(x)0，得x2；由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2，)(2)f(
15、x)(2a)(x1)2lnx，令m(x)(2a)(x1)，x0；h(x)2lnx，x0，则f(x)m(x)h(x)，当a2时，m(x)在(0，)上为增函数，h(x)在(0，)上为增函数结合图象可知，若f(x)在(0，)无零点，则m()h()即(2a)(1)2ln，a24ln2.24ln2a2.当a2时，在(0，)上m(x)0，h(x)0.f(x)0，f(x)在(0，)上无零点，由得a24ln2，amin24ln2.20(本小题满分12分)(2016福建福州三中月考)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价
16、格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p.(以上三式中p，q均为常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？(不必说明理由)(2)若f(0)4，f(2)6，求出所选函数f(x)的解析式；(注：函数定义域是0,5其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此类推)(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份价格下跌解析(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)x(xq)2p.
17、(2)由f(0)4，f(2)6，代入所选函数，得由q1，解得p4，q3.所以f(x)x36x29x4(0x5)(3)因为f(x)x36x29x4(0x5)，所以f (x)3x212x9.令f (x)0，得x1或x3；令f (x)0，得1x3.因为x0,5，所以函数f(x)在(0,1)和(3,5)内单调递增，在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌21(本小题满分12分)(2017重庆市綦江区八校联盟高三上学期期末数学试题)已知f(x)x2axlnx，aR.(1)当a3时，求函数f(x)的极小值；(2)令g(x)x2f(x)，是否存在实数a，当x1，e(e是自
18、然对数的底数)时，函数g(x)取得最小值为1.若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数g(x)的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可解：(1)由题可知，f(x)x23xlnx，所以f(x)2x3，令f(x)0，得x或x1，令f(x)0，解得0x1，令f(x)0，解得x1，所以f(x)在(0，)，(1，)单调递增，在(，1)上单调递减，所以f(x)的极小值是f(1)2.(2)由题知，g(x)axlnx，所以g(x)a，当a0时，g(x)在1，e上单调递减，g(x)ming(e)ae11，
19、解得a(舍去)当0a时，g(x)在1，e上单调递减，g(x)ming(e)ae11，解得a(舍去)当a1时，g(x)在1，上单调递减，在，e上单调递增，g(x)ming()1lna1，解得a1(舍去)当a1时，g(x)在1，e上单调递增，g(x)ming(1)a1，解得a1.综合所述：当a1时，g(x)在1，e上有最小值1.22(本小题满分12分)(20162017学年河南省许昌、平顶山、新乡三市高三联考试题)已知函数f(x)ax2(a2)xlnx(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若对任意x1，x2(0，)，x1x2，有f(x1)2x1f(x2)2x2恒成立
20、，求a的取值范围分析(1)a1时，求f(x)的导函数，计算曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率k，写出该点处的切线方程；(2)由题意设g(x)f(x)2x，(x0)，g(x)应是增函数，即g(x)0在(0，)上恒成立，求出a的取值范围解析(1)a1时，f(x)x23xlnx，f(1)2，f (x)2x3，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率kf (1)0；所以在点(1，f(1)处的切线方程为 y2；(2)令g(x)f(x)2xax2axlnx，(x0)；由题意知g(x)在(0，)单调递增，所以g(x)2axa0在(0，)上恒成立，即2ax2ax10在(0，)上恒成立；令h(x)2ax2ax1，(x0)；则若a0，h(x)10恒成立，若a0，二次函数h(x)0不恒成立，舍去，若a0，二次函数h(x)0恒成立，只需满足最小值h()0，即10，解得0a8；综上，a的取值范围是0,8点拨本题考查了利用导数求函数图象上过某点切线方程的斜率以及应用导数判定函数的增减性问题，是中档题