1、第三章 三角函数、解三角形第四节 三角函数的图象与性质1.能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 周期函数与最小正周期对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_，则称 f(x)为周期函数，T 为它的一个周期若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期答案f(xT)f(x)1下列函数中，以 为周期的偶函数是()Ay
2、sin2x Bycosx2Cysinx2Dycos2x解析：由正余弦函数周期求解公式可知 ysin2x，ycos2x的周期为，ycosx2，ysinx2的周期为 4，其中 ycos2x 是偶函数答案：D2(2016山东卷)函数 f(x)(3sinxcosx)(3cosxsinx)的最小正周期是()A.2BC.32D2解析：通性通法：由题意得 f(x)3sinxcosx 3sin2x 3cos2xsinxcosxsin2x 3cos2x2sin(2x3)故该函数的最小正周期 T22.故选 B.光 速 解 法：由 题 意 得 f(x)2sin x6 2cos x6 2sin2x3，故该函数的最小正
3、周期 T22，故选 B.答案：B知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx|x2k，kZ值域_单调性递增区间：_递减区间：_递增区间：_递减区间：_递增区间：_最值x_时，ymax1x_时，ymin1x_时，ymax1x_时，ymin1无最值奇偶性_对称中心_对称中心_对称中心_对称性对称轴 l_对称轴 l_无对称轴周期_答案1,1 1,1 R 2k2，2k2(kZ)2k2，2k32(kZ)2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)(k2，k2)(kZ)2k2(kZ)2k2(kZ)2k(kZ)2k(kZ)奇函数 偶函数 奇函数(k，0)，kZ
4、(k2，0)，kZ(k2，0)，kZ xk2，kZ xk，kZ 2 2 3(必修P40 练习第 3(2)题改编)函数 f(x)42cos13x 的最小 值 是 _，取 得 最 小 值 时，x的 取 值 集 合 为_解析：f(x)min422，此时，13x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以 x 的取值集合为x|x6k，kZ答案：2 x|x6k，kZ4(选修P40 第 4 题改编)函数 y4sinx，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在2，2 上是增函数，在，2 和2，上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在2，2 上是增函数，在2，2 上是减函数解析：由函数 y
5、4sinx，x，的图象可知，该函数在2，2 上是增函数，在，2 和2，上是减函数答案：B5(必修 4P39 例 4(2)改编)比较大小：cos235 _cos174.解析：因为 cos235 cos235 cos35，cos174 cos174cos4，又 0435，且函数 ycosx 在区间0，上是减函数，所以 cos35 cos4，即 cos235 cos174.答案：0，由得8x8，由得 sinx12，由正弦曲线得62kx0，12cosx0，即sinx12，cosx12.解之得 2k3x2k56，kZ.即函数的定义域为2k3，2k56，kZ.(2)要使函数有意义，必须有tanx10，x2
6、k，kZ，即x4k，kZ，x2k，kZ.故函数的定义域为x|x4k 且 x2k，kZ答案：(1)2k3，2k56，kZ(2)xx4k且x2k，kZ热点二三角函数的值域与最值【例 2】(1)函数 y2sinx1，x76，136 的值域是()A3,1 B2,1C(3,1 D(2,1(2)(2016成都模拟)函数 ycos2x2sinx 的最大值与最小值分别为()A3，1 B3，2C2，1 D2，2【解 析】由 正 弦 曲 线 知 y sinx 在 76，136 上，1sinx12，所以函数 y2sinx1，x76，136 的值域是(2，1(2)ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x
7、2sinx1，令 tsinx，则 t1,1，yt22t1(t1)22，所以 ymax2，ymin2.【答案】(1)D(2)D本例(2)中若 x4，4，则函数的值域又是怎样变化呢？解：ysin2x2sinx1，令 tsinx 22，22.y(t1)2212 2，12 2.【总结反思】(1)形如 yasinxbcosxc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如 yasin2xbsinxc的三角函数，可先设 sinxt，化为关于t 的二次函数求值域(最值).(1)函数 y2sinx6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3B0C1 D1 3(2)(2016
8、新课标全国卷)函数 f(x)cos2x6cos2x 的最大值为()A4 B5C6 D7解析：(1)0 x9，36x376，sin6x3 32，1.y 3，2，ymaxymin2 3.(2)f(x)12sin2x6sinx2(sinx32)2112，因为 sinx1,1，所以当 sinx1 时，f(x)取得最大值，且 f(x)max5.答案：(1)A(2)B热点三 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性考向 1 三角函数的周期性【例 3】(1)函数 y12sin2x34 是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数(2)若函数 f(x)
9、2tankx3 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为_【解析】(1)y12sin2x34 cos2x34 sin2x，所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数(2)由题意知，1k2，即 k0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则 等于()A.23B.32C2 D3【解析】(1)由已知函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3 的单调增区间由 2k22x32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.故所给函数的单调减区间为k 12，k512(kZ)(2)因为 f(x)sinx(0)过原点，所以当 0 x2，即0 x 2时，ysinx 是增
10、函数；当2x32，即 2x32时，ysinx 是减函数由 f(x)sinx(0)在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减知，23，所以 32.【答案】(1)k 12，k512(kZ)(2)B考向 3 奇偶性与对称性【例 5】当 x4时，函数 f(x)sin(x)取得最小值，则函数yf34 x()A是奇函数且图象关于点2，0 对称B是偶函数且图象关于点(，0)对称C是奇函数且图象关于直线 x2对称D是偶函数且图象关于直线 x 对称【解析】当 x4时，函数 f(x)取得最小值，sin4 1，2k34(kZ)f(x)sinx2k34 sinx34.yf34 x sin(x)sinx.yf34 x
11、是奇函数，且图象关于直线 x2对称【答案】C【总结反思】1求三角函数单调区间的 2 种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间提醒：求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域2三角函数奇偶性、对称性的判断方法(1)若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.(2)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图
12、象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断.(1)(2017太原模拟)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2(2)(2017洛阳模拟)已知 0，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54 B.12，34 C.0，12 D(0,2解析：(1)由题意得 3cos243 3cos23 2 3cos23 0，所以23 k2，kZ，所以 k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.(2)由 2
13、 x 得 2 4 x 4 4，由 题 意 知24，4 2，32，所以242，432，所以1254.答案：(1)A(2)A1求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象2判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇3三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减4求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)”的形式，再利用周期公式即可温示提馨请 做：课时作业 21（点击进入）