1、数学 第十五篇 几何证明选讲(选修41)第1节 相似三角形的判定及有关性质 选考部分 数学 最新考纲 1.理解相似三角形的定义与性质,了解平行线截割定理.2.会证明并应用直角三角形射影定理.数学 知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来 知识梳理 1.平行线截割定理及应用(1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ,那么在其他直线上截得的线段 .(2)平行线等分线段定理的推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 .经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 .(3)平行线分线段成比例定理及其推论 三条平行线截两条直线,所得的对应线段
2、 .平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 .相等 也相等 平分第三边 平分另一腰 成比例 成比例 数学 2.相似三角形的判定定理与性质定理(1)相似三角形的判定定理 定理 内容判定定理1 对应相等,两三角形相似判定定理2 对应成比例且 相等,两三角形相似判定定理3 对应成比例,两三角形相似两角 两边 夹角 三边 数学(2)相似三角形的性质定理 定理与推论 内容性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 .相似三角形周长的比等于 .性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的 .推论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比
3、等于相似比的 .相似比 相似比 平方 平方 数学 3.直角三角形相似的判定定理与射影定理(1)直角三角形相似的判定定理 定理 内容判定定理1 如果两个直角三角形 对应相等,那么它们相似判定定理2 如果两个直角三角形的 对应成比例,那么它们相似判定定理3 如果一个直角三角形的 和一条直角边与另一个三角形的 和一条直角边对应 ,那么这两个直角三角形相似有一个锐角 两条直角边 斜边 斜边 成比例(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 .比例中项 比例中项 数学 夯基自测 1.给出下列命题:三角形相似不具有传递性;两组对应边成
4、比例,一组对应边所对的角相等的两三角形相似;两个三角形相似,则对应线段都成比例;相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比.其中正确的是()(A)(B)(C)(D)C 数学 解析:错误,三角形相似具有传递性,即ABCA1B1C1,A1B1C1A2B2C2,则ABCA2B2C2;错误,如图,B=B,当ABA B=ACA C时相似;当ABA B=ACA C时不相似;正确,两个三角形相似时,对应边、对应中线、高线、角平分线都成比例;数学 正确,如图由相似三角形的定义知BAC=BAC,1=2,由直角三角形相似的判定方法知 RtADIRtADI,可知结论正确.数学 2.如图所示,D,E 分别是ABC 的边
5、AB,AC 上的点,DEBC,且 ADDB=2,那么 ADE 与四边形 DBCE 的面积比是()(A)23(B)25(C)45(D)49 解析:因为 DEBC,所以ADEABC,因为 ADDB=2,所以 ADDB=23,故ADEABCSS=49,所以ADEDBCESS四边形=45.C 数学 3.如图所示,ABCDEF,AFBE=O,若 AO=OD=23DF,BE=14 cm,则 BO 等于()(A)3 cm(B)5 cm(C)6 cm(D)4 cm 解析:因为 CDEF,OD=23DF,所以 OC=23CE,又因为 ABCD,AO=OD,所以 BO=OC,所以 OB=27BE=2714=4(c
6、m).D 数学 4.在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,若BDAD=13,则BCD=.解析:由射影定理得 CD2=ADBD,又因为 BDAD=13,令 BD=x,AD=3x,所以CD2=ADBD=3x2,所以 CD=3 x,在 RtCDB 中,tanBCD=BDCD=3xx=33,所以BCD=6.答案:6 数学 5.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm,下底BC=15 cm,在边AB,CD上分别取E,F,使AEEB=DFFC=32,则EF=.解析:连接 AC 交 EF 于 P,因为 AEEB=32,所以 AEAB=35.所以 EPBC=35,因为 BC=15 cm,所以 EP=9 cm
7、,同理 PF=3.2 cm.所以 EF=12.2 cm.答案:12.2 cm 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 平行线截割定理及应用【例 1】如图ABC 中,D 为 BC 的中点,E 在 CA 上且AE=2CE,AD,BE 交于 F,求 AFFD=,BFFE=.数学 解析:取 BE 的中点 G,连接 DG,在BCE 中,因为 D,G 分别为 BC,BE 的中点,所以 DGEC,且 DG=12EC.又因为 AE=2CE,DGEC,所以 AFFD=EFFG=AEDG=12AEEC=4,又 BG=GE,所以BFEF=BGGFEF=GEGFEF=2GFEFEF=2 14+1=32.答案:4
8、 32 数学 反思归纳 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用.(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一边的中点.数学【即时训练】如图,在ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,AE 交BC 于点 F,则 BFFC的值为 .解析:过点 D 作 DMAF 交 BC 于点 M.因为点 E 是 BD 的中点,所以在BDM 中,BF=FM,又点 D 是 AC 的中点,所以在CAF 中,C
9、M=MF,所以 BFFC=BFFMMC=12.答案:12 数学 考点二 相似三角形的判定与性质【例2】如图,已知ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的高.求证:AFEDFBDCE.证明:因为 CF,BE 分别是 AB,AC 边上的高,所以AEB=AFC=90,又FAC=EAB,所以 RtAEBRtAFC,所以 AEAF=ABAC,所以 AEAB=AFAC,又FAE=CAB,所以AFEACB,同理DFBACB,DCEACB,所以AFEDFBDCE.数学 反思归纳 证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等;(2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例;(
10、3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.数学【即时训练】(1)如图所示,D为ABC中BC边上一点,CAD=B,若AD=5,AB=9,BD=6,则DC的长为 .解析:(1)因为CAD=B,C=C,所以CADCBA,所以 ADBA=CDCA=ACBC,所以 AC=AB CDAD,AC=AD BCAB,所以 AB CDAD=AD BCAB.设 CD=x,则 95x=569x,解得 x=7528.答案:(1)7528数学(2)(2014 高考广东卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则CDFAEF的面积的面积=.解析:(2)由题意可知
11、AEFCDF,所以 AECD=AEAB=AEAEEB=13,所以CDFAEF的面积的面积=(CDAE)2=9.答案:(2)9 数学 直角三角形中的射影定理 考点三 【例3】如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于D,DEAC于E,EFAB于F.求证:CE2=BDDF.证明:因为ACB=90,DEAC,所以 DEBC,所以 BDCE=ABAC.同理 CDEF,所以 CEDF=ACAD.因为ACB=90,CDAB,所以 AC2=ADAB.所以 ACAD=ABAC,所以 CEDF=BDCE,所以 CE2=BDDF.数学 反思归纳 (1)运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角三角形中,要确
12、定好直角边及其射影.(2)在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化,同时注意射影定理的其他变式.数学【即时训练】如图,在ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F.求证:AEAB=AFAC.证明:因为ADBC,所以ADB为直角三角形.又因为DEAB,由射影定理知,AD2=AEAB.同理可得AD2=AFAC,所以AEAB=AFAC.数学 备选例题 【例1】如图,在ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交AC于G,交BC于F.求证:(1)DG2=GEGF;证明:(1)因为 CDAE,所以 DGGE=CGAG.又因为 ADCF,所以 GFDG=CGAG.所以 DGGE=GFDG,即 DG2
13、=GEGF.数学(2)CFCB=ABAE.证明:(2)因为 BFAD,所以 ABAE=DFDE.又因为 CDBE,所以 CFCB=DFDE,所以 CFCE=ABAE.数学【例2】如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,DECA,且交BA的延长线于E,求证:EDCD=EABD.证明:在梯形 ABCD 中,因为 AB=DC,所以ABC=DCB.又 BC=BC,所以ABCDCB.所以BAC=BDC,因为 ACED,ADBC,所以E=BAC=BDC,EAD=ABC=DCB,所以EADDCB.所以 EADC=EDDB,即 EDCD=EABD.数学 经典考题研析 在经典中学习方法【教师备用】三角
14、形相似的判定【典例】(2012高考新课标全国卷)如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点.若CFAB,证明:(1)CD=BC;(2)BCDGBD.数学 审题指导 关键点 所获信息 D,E 为中点 DEBC,BD=AD CFAB 四边形 BCFD 与 ADCF 均为平行四边形且 BC=AF 解题突破:(1)欲证 CD=BC,需证 CD=AF=BC.(2)欲证BCDGBD,需证两角对应相等 证明:(1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DEBC.又已知 CFAB,故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD.而 CFAD,连接 AF,所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF.因为 CFAB,所以 BC=AF,故 CD=BC.数学(2)因为FGBC,故GB=CF.由(1)可知BD=CF,所以GB=BD,所以BGD=BDG.由BC=CD知CBD=CDB,又因为DGB=EFC=DBC,所以BCDGBD.命题意图:本题主要考查了三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,等弧所对的弦以及三角形相似的判定等基础知识,考查了逻辑推理能力,试题难度中等.数学 点击进入课时训练数学