1、3.2双曲线的简单性质1.已知双曲线x22-y2a=1的一条渐近线为y=2x,则实数a的值为() A.2B.2C.3D.4解析:由题意,得2=a2,所以a=4.答案:D2.已知ABP的顶点A,B分别为双曲线x216-y29=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则|sinA-sinB|sinP的值等于()A.45B.74C.54D.7解析:在ABP中,由正弦定理知|sinA-sinB|sinP=|PB|-|PA|AB|=2a2c=810=45.答案:A3.已知双曲线x24-y2b2=1(b0)的离心率等于33b,则该双曲线的焦距为()A.25B.26C.6D.8解析:设双曲线的焦距为2c,由已知得
2、c2=33b,又c2=4+b2,解得c=4,则焦距为8.答案:D4.已知双曲线x2a2-y2b2=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=bax,则由题意得ba2.所以e=ca=1+ba21+4=5.答案:C5.已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点与抛物线y2=410x的焦点重合,且双曲线的离心率等于103,则双曲线的方程为()A.x2-y29=1B.x2-y2=1C.x29-y29=1D.x29-y2=1解析:由题意可得双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为(10,0),所以c=1
3、0,又ca=103a=3,所以b2=c2-a2=1,故双曲线的方程为x29-y2=1,故选D.答案:D6.双曲线x24+y2k=1的离心率e(1,2),则k的取值范围是.解析:双曲线方程可变为x24-y2-k=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=ca=4-k2,又因为e(1,2),则14-k22,解得-12k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=12,x1x2=-138,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+13122-4-138=3.答案:39.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)过点(3,-2),离心率e=52;(2)中心在原点,焦点F1
4、,F2在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等,且过点P(4,-10).解(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).因为双曲线过点(3,-2),则9a2-2b2=1.又e=ca=a2+b2a2=52,故a2=4b2.由得a2=1,b2=14,故所求双曲线的标准方程为x2-y214=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).同理可得b2=-172,不符合题意.综上可知,所求双曲线的标准方程为x2-y214=1.(2)由2a=2b,得a=b,所以e=1+b2a2=2,所以可设双曲线方程为x2-y2=(0).因为双曲线过点P(4,-
5、10),所以16-10=,即=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.所以双曲线的标准方程为x26-y26=1.10.导学号01844026已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1MF2=0;(3)在(2)的条件下,求F1MF2的面积.(1)解e=2,可设双曲线方程为x2-y2=(0).过点P(4,-10),16-10=,即=6.双曲线方程为x2-y2=6,即x26-y26=1.(2)证明由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3.故kMF1kMF2=-1,MF1MF2,MF1MF2=0.(3)解F1MF2的底|F1F2|=43,F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=3,SF1MF2=12|F1F2|m|=6.