1、第三节 函数的单调性和奇偶性 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第三节 函数的单调性和奇偶性 双基研习面对高考 1函数的单调性(1)增函数与减函数：设函数yf(x)的定义域为D，区间ID，如果取区间I中的任意两个数x1，x2，由x1x2f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是_，若由x1x2f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是_(2)单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是_或是_，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为_增函数减函数增函数减函数单调区间双基研习面对高考 基础梳理(3)增、减函数定义的两种等价形式设 x1，x2a，b，那么fx1fx2x1
2、x20f(x)在a，b上是增函数；fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0(0)f(x)在a，b上是增(减)函数(4)几个常用的结论f(x)与 f(x)c(c 为常数)具有相同的单调性当 c0 时，函数 f(x)与 cf(x)具有相同的单调性；当 c0 时，函数 f(x)和 cf(x)具有相反的单调性若 f(x)0，则函数 f(x)与 1fx在对应区间上具有相反的单调性若 f(x)0，则 f(x)与 fx具有相同的单调性若 f(x)、g(x)单调性相同，则 f(x)g(x)单调性不变，若 f(x)、g(x)单调性相反，则 f(x)g(x)与 f(x)有
3、相同的单调性奇函数图象在关于原点对称区间上的单调性一致；偶函数图象关于原点对称区间上的单调性相反若yf(u)和u(x)在相应区间上增减性相同，则yf(x)在这个区间上是增函数；若yf(u)和u(x)在相应区间上增减性相反，则yf(x)在这个区间上是减函数2函数的奇偶性(1)奇偶函数的定义偶函数 奇函数 定 义 设函数yf(x)的定义域为A 如果对于任意的xA，都有_，则称函数yf(x)是偶函数 如果对于任意的xA，都有_，则称函数yf(x)是奇函数 图象特点 关于_对称 关于_对称 f(x)f(x)f(x)f(x)y轴原点思考感悟1若一个函数的图象关于y轴(或原点)对称，则说函数是偶函数(或奇
4、函数)吗？提示：是偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，反之成立(2)函数奇偶性的判定方法根据定义判定：首先看函数的定义域是否_，若不对称，则函数是非奇非偶函数；若对称，再判定_或_有时判定_比较困难，可考虑判定f(x)f(x)0或判定_关于原点对称f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)fxfx1(f(x)0)性质法判定：在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为_(注意取商时分母不为零)(3)函数的周期性对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，_都成立，那么f(x)是
5、周期函数，T是它的周期对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期若T是函数的一个周期，则_也是函数的周期奇函数f(xT)f(x)nT(nN*)思考感悟2有没有函数是周期函数，但没有最小正周期？提示：常数函数是周期函数，但没有最小正周期1若f(x)2x2xlga为奇函数，则实数a_.解析：因f(x)为奇函数，故f(x)f(x)0，得2x2xlga2x2xlga0，(2x2x)(1lga)0，2x2x0，lga1，即a10.答案：10课前热身 2(2010年高考山东卷改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(
6、1)_.解析：由f(x)是R上的奇函数可得f(0)0，可得b1，f(x)2x2x1，f(1)3，又f(1)f(1)，f(1)3.答案：33(2010年高考安徽卷改编)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.解析：f(x)的周期为5，f(3)f(2)，又f(x)是奇函数，f(3)f(2)f(2)2，同理f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1.答案：14(2009 年高考福建卷改编)下列函数f(x)中：f(x)1x；f(x)(x1)2；f(x)ex；f(x)ln(x1)满足“对任意 x1，x2(0，)，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2
7、)”的是_解析：由于只有中f(x)在(0，)内是减函数，故应填.答案：考点探究挑战高考 考点突破 函数奇偶性的判断 本类问题主要是考查奇偶函数的定义，准确理解定义并作出判断，要求达到“快而精准”，对一些典型的函数应当加强记忆判断下列函数的奇偶性，并说明理由(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)(x1)1x1x，x(1,1)；(3)f(x)x1x，x0，x1x，x0.例1【思路分析】首先判断函数的定义域，在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)【解】(1)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，
8、f(x)是非奇非偶函数(2)因为 f(x)(x1)1x1x，x(1,1)的定义域关于原点对称，又 f(x)(x 1)1x1x (x 1)1x1x1x21x1x 1x1x1x1x21x(1x)1x1x(x1)1x1x，所以 f(x)f(x)所以 f(x)是偶函数(3)因为 f(x)x1x，x0 x1x，x0 的定义域关于原点对称，当 x0 时，x0，所以 f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)；当 x0时，x0，所以 f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)所以 f(x)f(x)所以 f(x)为奇函数【名师点评】判断函数的奇偶性，定义域的判断是前提，分段函数应分段证明，结合奇偶
9、函数的性质，也可应用图象法判断此类问题重点掌握用定义法及导数法判断函数的单调性及求函数的单调区间(1)用定义法证明 f(x)axax(a0 且a1)在(0，)上是增函数；(2)若 a0，讨论函数 f(x)xax的单调性函数单调性的判定 例2【解】(1)证明：任取 x1、x2(0，)，且x1x2，则 f(x2)f(x1)(ax2ax2)(ax1ax1)(ax2ax1)(ax2ax1)ax2ax1ax1ax2ax1x2ax2ax1ax1x21ax1x2，0 x1x2，x1x20，ax1x20，当 a1 时，ax2ax1，ax2ax10，ax1x2a01，ax1x210，f(x2)f(x1)0，f(
10、x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数当 0a1 时，ax2ax1，ax2ax10，0ax1x2a01，ax1x210，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)综上所述，对于任何 a0 且 a1，均有 f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(2)当a 0时，f(x)1 ax2 x ax ax2.令 f(x)0，则得 x a或 x a.令 f(x)0，则得 ax a.又 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)在(，a 和 a，)上单调递增，在 a，0)和(0，a)上单调递减当 a0 时，f(x)1 ax20，又 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)在(，0)
11、和(0，)上都是增函数【名师点评】(1)用定义法判断函数单调性的一般步骤为：取值作差变形定号判断(2)判断函数的单调性或解函数的单调区间时，要先求出函数的定义域，单调区间不能超出函数的定义域变式训练 1 讨论函数 f(x)axx21(a0)在 x(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax2x1x1x21x211x221.1x1x21，x2x10，x1x210，(x211)(x221)0.又 a0，f(x1)f(x2)0，f(x)在(1,1)上为减函数对函数的奇偶性和单调性的综合应用 对函数的单调性、奇偶性、周期性等命题时，往往综合在一起考查
12、，性质之间相互联系构造出不同的逻辑关系，熟练应用这些关系及其变化特征，是本类问题考查的重点，可在不同的典型题目中来领悟并掌握已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数(1)求 a，b 的值；(2)若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围例3【解】(1)f(x)是奇函数，f(0)0，即1b2a 0，解得 b1，从而有 f(x)2x12x1a.又由 f(1)f(1)知214a 1211a，解得a2.经检验 a2 适合题意，所求 a、b 的值为 2,1.(2)由(1)知 f(x)2x12x121212x1.由上式易知 f(x)在(，)上为减函
13、数又因 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t22t)f(2t2k)0 等价于 f(t22t)f(2t2k)f(2t2k)因 f(x)是减函数，由上式推得 t22t2t2k.即对一切 tR 有 3t22tk0.从而判别式 412k0，解得 k13.【名师点评】不等式恒成立问题，往往可转化成函数最值的求法变式训练 2 已知 f(x)xax2bx1是奇函数(1)求 a、b 的值；(2)求 f(x)的单调区间，并加以证明解：(1)f(x)f(x)0 恒成立，即xax2bx1xax2bx10 恒成立，则 2(ab)x22a0 对任意的实数 x 恒成立ab0.(2)f(x)xx21(xR)是奇函数，只需研
14、究 f(x)在(0，)上的单调区间即可任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则f(x1)f(x2)x1x211 x2x221x2x1x1x21x211x221.x2110，x2210，x2x10，而 x1，x20,1时，x1x210，x1，x21，)时，x1x210，当 x1，x20,1时，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)是增函数；当 x1，x21，)时，f(x1)f(x2)0，函数f(x)是减函数又 f(x)是奇函数，f(x)在1,0上是增函数，在(，1上是减函数方法技巧1判断单调性的方法(1)定义法；(2)利用一些常见函数的单调性，如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、
15、三角函数的单调性加以判断；(3)图象法；(4)在共同的定义域上，两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；方法感悟(6)复合函数yfg(x)的单调性，遵循“同增异减”的原则，即内外层函数单调性相同时则为增函数，一增一减则为减函数；(7)导数法，函数f(x)在某区间内可导，如果f(x)0，则函数为增函数，如果f(x)0，则函数为减函数2确定函数的奇偶性，一要确定函数的定义域，二要看f(x)与f(x)的关系函数的奇偶性是函数的重要性质之一，其判断方法主
16、要是利用定义一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义作出判断，如例1.失误防范1求函数的单调区间时，首先应确定函数的定义域2函数的单调区间有多个时，不能使用并集的符号“”连接单调区间，如(a，b)(c，d)为增区间，这种写法是错误的判断函数的奇偶性，易忽略函数定义域的对称性，函数具有奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数，也不是偶函数函数的奇偶性的最明显的特征是其图象的对称性，在解决有关问题时，不要忘记利用对称性解决有关问题考向瞭望把脉高考 考情分析 函数的单调性，是高考考查的重中之
17、重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、求最值、利用函数的单调性解有关的不等式问题等，如江苏2010年高考11题对函数单调性的考查，常与其他函数的性质相结合，而导数是研究函数单调性的一种重要方法，因而也常与导数联系在一起考查，如2009年高考江苏第3题等函数的奇偶性、周期性等性质常常是高考的命题热点，易单独命题，如2010年高考江苏卷第5题，由于三角函数中周期性是三角函数的一大性质，因而在三角函数中考查周期性的较多预测在2012年的高考中，对函数单调性的考查会继续涉及，单调区间或单调性的应用依然是热点函数的奇偶性、周期性也是考查的热点内容，易结合函数的其他性质命题(20
18、10年高考江苏卷)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_【解析】函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，设g(x)exaex，(xR)由题意知g(x)应为奇函数(奇函数奇函数偶函数)，又xR，g(0)0，则1a0，a1.【答案】1例真题透析【名师点评】本题考查了奇偶函数的性质，只有熟知这些性质才能快速准确地解题解决复合函数奇偶性问题的关键在于：既要把握函数复合的过程，又要掌握基本函数的性质在利用函数的奇偶性解决实际问题的过程中，往往要用到等价转化和数形结合的思想，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的式子去解决另外高考中还会经常利用函数的奇偶性考查一些参数值的求
19、法，可以通过赋值求解，如奇函数f(x)若在x0处有定义，则函数f(x)必过原点，即f(0)0，此法可以快速处理选择题、填空题中出现的奇偶性问题1函数f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为_解析：f(a)a3sina12，f(a)(a)3sin(a)1a3sina1(a3sina1)2220.答案：0名师预测 2奇函数yf(x)(xR)满足f(2)1，f(x2)f(x)f(2)，则f(1)等于_解析：令 x1，则由 f(x2)f(x)f(2)得 f(12)f(1)f(2)，又 yf(x)是奇函数，f(1)f(1)，2f(1)f(2)1，f(1)12.答案：123已知函数
20、f(x)x21，x0，1，x0，则满足不等式 f(1x2)f(2x)的 x 的取值范围是_解析：当x1时，无解当1x0时，1x20，f(1x2)f(2x)化为(1x2)211，恒成立当0 x1时，1x20,2x0，f(1x2)f(2x)化为(1x2)21(2x)21，即1x22x，(x1)22，0 x 21.当 1x20 时，无解综上知1x 21.答案：(1，21)4已知 f(x)3axax1logaxx1 是(，)上的增函数，那么实数 a的取值范围是_解析：由题意可知3a0loga13a1aa1，解得 a32，3)答案：32，3)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用