1、圆锥曲线的定义及标准方程复习课(二)圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容考点精要椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常 数(大 于|F1F2|)的 点 的轨迹平面内与两个定点F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹椭圆双曲线抛物线标准方程x2a2y2b21 或y2a2x2b21(ab0)x2a2y2b21 或y2a2x2
2、b21(a0，b0)y22px 或y22px 或x22py 或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2典例(1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则 C 的方程是()Ax23 y241 Bx24 y231Cx24 y221 Dx24 y231(2)已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_解析(1)右焦点为 F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x轴上；c1又离心率为ca12，故 a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为x24 y231，故选 D(2)由题意可知抛物线的
3、准线方程为 x2，双曲线的半焦距 c2又双曲线的离心率为 2，a1，b 3，双曲线的方程为 x2y231答案(1)D(2)x2y231求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2ny21(m0，n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小类题通法1(天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点
4、在抛物线 y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为()Ax221y2281 Bx228y2211Cx23 y241 Dx24 y231题组训练解析：选 D 由双曲线的渐近线 ybax 过点(2，3)，可得 3ba2由双曲线的焦点(a2b2，0)在抛物线 y24 7x 的准线 x 7上，可得a2b2 7由解得 a2，b 3，所以双曲线的方程为x24 y2312(全国卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2
5、)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则m24r2，4m2r2，解得m32，r2254.所以圆的标准方程为x322y2254 答案：x322y22543方程 x24t y2t11 表示曲线 C，给出以下命题：曲线 C 不可能为圆；若 1t4，则曲线 C 为椭圆；若曲线 C 为双曲线，则 t4；若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 1t52其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)解析：显然当 t52时，曲线为 x2y232，方程表示一个圆；而当 1t4，且 t52时，方程表示椭圆；当 t4 时，方程表示双曲线；而当 1tt10，方程表示焦点在 x
6、轴上的椭圆，故为真命题答案：圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程x2a2y2b21(ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线考点精要椭圆双曲线抛物线对称中心为原点无对称中心对称性两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1e1准线方程xp2决 定
7、 形 状 的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小典例(1)(山东高考)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_(2)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2 的渐近线方程为_解析(1)如图，由题意知|AB|2b2a，|BC|2c又 2|AB|3|BC|，22b2a 32c，即 2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以 a2 并整理得 2e
8、23e20，解得 e2(负值舍去)(2)设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2，则 e1a2b2a，e2 a2b2a因为 e1e2 32，所以 a4b4a2 32，即ba414，ba 22 故双曲线的渐近线方程为 ybax 22 x，即 x 2y0 答案(1)2(2)x 2y0类题通法求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2b2c2(a2b2c2)以及 eca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出
9、其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观1如图，F1，F2 是椭圆 C1：x24 y21 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点其四边形AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是()A 2B 3C32D 62题组训练解析：选 D 焦点 F1(3，0)，F2(3，0)，在 RtAF1F2 中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，所以可解得|AF2|AF1|2 2，故
10、 a 2，所以双曲线的离心率 e 32 62，选 D2设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_解析：不妨设 A 在 x 轴上方，由于 AB 过 F2 且垂直于 x 轴，因此可得 Ac，b2a，Bc，b2a，由 ODF2B，O 为 F1F2的中 点可 得 D 0，b22a，所以 AD c，3b22a，F B12c，b2a，又 ADF1B，所以ADF B12c23b42a20，即3b44a2c2，又 b2a2c2，所以可得 3(a2c2)2ac，
11、两边同时除以 a2，得 3e22e 30，解得 e 33 或 3，又 e(0,1)，故椭圆 C 的离心率为 33 答案：333已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22py(p0)的焦点为 F若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_解析：c2a2b2，由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知，双曲线过点c，p2，即c2a2 p24b21由|FA|c，得 c2a2p24，由得 p24b2将代入，得c2a22a2b2a22，即ba1，故双曲线的渐近线方程为 yx，即 xy0答案：xy0直线与圆锥曲线的位置关系高
12、考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的考点精要直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于
13、一点；1)，则右焦点 F(a21，0)，由题设，知|a212 2|23，解得 a23，故所求椭圆的方程为x23 y21(2)设点 P 为弦 MN 的中点，由ykxm，x23 y21，得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m2m2，解得 0m0，解得 m12，故所求 m 的取值范围是12，2 类题通法有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，如当直线与双曲线的渐近线平
14、行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以
15、及“点差法”等题组训练1平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_解析：设机器人所在位置为 A(x，y)，依题意得点 A 在以 F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为 y24x过点 P(1,0)，斜率为 k 的直线为 yk(x1)由y24x，ykxk 得 ky24y4k0当 k0 时，显然不符合题意；当 k0 时，依题意得(4)24k4k0，解得 k1 或 kb0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且OP 的斜率为1
16、2(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，y2y1x2x11，由此可得b2x2x1a2y2y1y2y1x2x11因为 x1x22x0，y1y22y0，y0 x012，所以 a22b2又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故 a2b23因此 a26，b23所以 M 的方程为x26 y231(2)由xy 30，x26 y231解得x4 33，y 33或x0，y 3.因此|AB|4 63 由题意可设直线 CD 的方程为yxn5 33 n 3，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)由yxn，x26 y231得 3x24nx2n260于是 x3,42n 29n23因为直线 CD 的斜率为 1，所以|CD|2|x4x3|439n2由已知，四边形 ACBD 的面积 S12|CD|AB|8 699n2当 n0 时，S 取得最大值，最大值为8 63 所以四边形 ACBD 面积的最大值为8 63 “回扣验收特训”见“回扣验收特训（二）”(单击进入电子文档)
