1、第三章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一角的概念的推广角的特点角的分类从运动的角度看角可分为_、_和_从终边位置来看可分为_和轴线角 与 角的终边相同_(或 k2，kZ)答案正角 负角 零角 象限角 k360，kZ1若 是第二象限角，是第三象限角，则角，的大小关系是_解析：角 可以大于角，也可以小于角，但是不能等于角.答案：不确定2终边在直线 yx 上的角的集合是_解析：终边在直线 yx 上，且在0，360)内的角为
2、 45，225，写出与其终边相同的的角的集合，整合即得答案：|k18045，kZ知识点二 弧度的概念与公式在半径为 r 的圆中：分类定义(公式)1 弧度的角把长度等于_长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 1 rad 表示角 的弧度数公式|_(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算1_ rad1 rad_弧长公式弧长 l_扇形面积公式S_答案半径 lr 180 180 r|12lr 12r2|3(必修 4P10 习题 1.1A 组第 10 题改编)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10 B9C.910 D.109 解析：单位圆的半径 r1,200的弧度数是 200 180109，由
3、弧度数的定义得109 lr，所以 l109.答案：D4已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_解析：设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则2rl6，12rl2，解得r1，l4或r2，l2.从而 lr414 或 lr221.答案：1 或 4知识点三 任意角的三角函数1定义：设角 的终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin_，cos_，tan_(x0)2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在_上，余弦线的起点都是_，正切线的起点都是_3终边相同的角的三角函数值公式一：sin(k2)_；cos(k2)_；tan(k2)_，其中 kZ.答案1
4、y x yx 2.x 轴 原点(1,0)3sin cos tan5(2016四川卷)sin750_.解析：sin750sin(236030)sin3012.答案：126已知角 的终边经过点 P(1,3)，则 sin_，cos_，tan_.解析：r 1232 10，sin 3103 1010，cos110 1010，tan 313.答案：3 1010 1010 3热点命题突破 02 课堂升华强技提能热点一 象限角及终边相同的角【例 1】(1)若角 是第二象限角，则2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_【解
5、析】(1)是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角(2)如图，在坐标系中画出直线 y 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是3，在0,2)内，终边在直线 y 3x 上的角有两个：3，43；在2，0)内满足条件的角有两个：23，53，故满足条件的角 构成的集合为53，23，3，43.【答案】(1)C(2)53，23，3，43【总结反思】(1)利用终边相同的角的集合 S|2k，kZ判断一个角 所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角 与 2 的整数倍的和，然后判断角 的象限(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些
6、条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角.(1)给出下列四个命题：34 是第二象限角；43 是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1 个 B2 个C3 个 D4 个(2)角 k18045(kZ)的终边落在直线 y_上解析：(1)34 是第三象限角，故错误；43 3，从而43是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确(2)当 k2n 时，n36045；当 k2n1 时，n360225.所以 的终边落在直线 yx 上答案：(1)C(2)x热点二扇形的弧长及面积公式【例 2
7、】已知一扇形的圆心角是，半径为 R，弧长 l.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长 l；(2)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)603 rad，lR310103(cm)(2)由题意得 l2R20，l202R(0R10)S 扇12lR12(202R)R(10R)RR210R.当且仅当 R5 时，S 有最大值 25.此时 l202510，lR105 2(rad)当 2 rad 时，扇形面积取最大值.【总结反思】(1)在弧度制下，弧长公式为 lr，扇形面积公式为 S12lr12r2，为圆心角，(0,2)，r 为半径，l 为弧长(2)应用上述
8、公式时，要先把角统一用弧度表示.已知在半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10，(1)求弦 AB 所对的圆心角 的大小；(2)求 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.解：(1)如图所示，过 O 作 OCAB 于点 C，则 AC5，在 RtACO 中，sinAOCACAO 51012，AOC30，2AOC60.(2)603，l|r103.S 扇12lr12103 10503.又 SAOB121010sin325 3，S 弓形S 扇SAOB503 25 350(3 32)热点三三角函数的定义及应用三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题
9、，且主要有以下几个命题方向：考向 1 利用三角函数定义求三角函数值【例 3】已知角 的终边经过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36 x，则 sin 1tan的值是_【解析】P(x，2)(x0)，点 P 到原点的距离 r x22.又 cos 36 x，cosxx22 36 x.x0，x 10.r2 3.当 x 10时，P 点坐标为(10，2)，由三角函数的定义，有sin 22 3 66，1tan10 2 5，sin 1tan 66 56 5 66；当 x 10时，同理可求得 sin 1tan6 5 66.【答案】6 5 66或6 5 66如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与
10、单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为45，则 cos_.解析：因为 A 点纵坐标 yA45，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA35，由三角函数的定义可得 cos35.答案：35考向 2 三角函数的符号确定【例 4】若 sintan0，且costan0，则角 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【解析】由 sintan0 可知 sin，tan 异号，从而角 为第二或第三象限角由costan0 可知 cos，tan 异号，从而角 为第三或第四象限角，故角 为第三象限角【答案】C点 A(sin2 015，cos2 015)在直角坐标平面上位于()
11、A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由 2 0153605215，知 2 015是第三象限角，sin2 0150，cos2 015|cosx|，则 x 的取值范围是()A.x2k34x2k4，kZB.x2k4x2k54，kZC.xk4xk4，kZD.xk4xk34，kZ【解析】由正弦线、余弦线及绝对值的意义，可知下图中阴影部分区域即为所求，即xk4x0，sin2x34.32 sinx 32.xx2k3 x2k3或2k23 x2k43，kZ.即 xxk3x0，根据三角函数的定义进行求解；或取单位圆上的点 P(cos，sin)(P点为角的终边上的一点)，根据三角函数的定义求解直线的斜率为直线的倾斜角的正切值，根据该角的正切值，可以求二倍角的正弦值、余弦值根据角的终边上一点的坐标，确定角的大小时，首先确定角所在的象限，再求角的三角函数值，从而确定角.温示提馨请 做：课时作业 18（点击进入）