1、生活中的优化问题举例 几何中的最值问题典例 有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解 设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为 a2x，高为 x，V(x)(a2x)2x,0 xa2.即 V(x)4x34ax2a2x,0 xa2.实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2 上的最大值点为此，先求 V(x)的极值点在开区间0，a2 内，V(x)12x28axa2.令 V(x)0，得 12x28axa20.解得 x116a，x212a(舍去)x116a
2、在区间0，a2 内，x1 可能是极值点且当 0 x0；当 x1xa2时，V(x)0.因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2 内，x1 是唯一的极值点，所以 x16a 是 V(x)的最大值点即当截下的小正方形边长为16a 时，容积最大1利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论2几何中最值问题的求解思路面积
3、、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验活学活用1已知圆柱的表面积为定值 S，当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 的值为_解析：设圆柱的底面半径为 r，则 S 圆柱底2r2，S 圆柱侧2rh，圆柱的表面积 S2r22rh.hS2r22r，又圆柱的体积 Vr2hr2(S2r2)rS2r32，V(r)S6r22，令 V(r)0 得 S6r2，h2r，因为 V(r)只有一个极值点，故当 h2r 时圆柱的容积量大又 rS6，h2S6 6S3.即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为 6S
4、3.答案：6S32将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？解：设弯成圆的一段长为 x(0 x100)，另一段长为 100 x，记正方形与圆的面积之和为 S，则 Sx22100 x42(0 x100)，则 S x218(100 x)令 S0，则 x1004.由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当 x1004 cm 时，面积之和最小故当截得弯成圆的一段长为1004 cm 时，两种图形面积之和最小.典例 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩
5、经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？用料、费用最少问题解(1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm，即 nmx1.所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1 mx(2 x)x256mxm x2m256.(2)由(1)知，f(x)256mx2 12mx12 m2x2(x32512)令f(x)0，得 x32512，所以 x64.当
6、0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 nmx164064 19.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答活学活用某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为 x m，则长为128x m，因此新墙总长度为 y2x12
7、8x(x0)，y2128x2，令 y0，x0，x8.因为当 0 x8 时，y0；当 x8 时，y0，所以当 x8 时，y 取最小值，此时宽为 8 m，长为 16 m.即当堆料场的长为 16 m，宽为 8 m 时，可使砌墙所用材料最省.典例 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式y ax310(x6)2.其中 3x6，a 为常数已知销售价格为5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大利润最大问题解 (1)因
8、为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310 x62 210(x3)(x6)2,3x6.从而 f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所
9、获得的利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动2关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数 活学活用工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为p 16x，0c，(c 为常数，且 0cc 时，p23，y123 x323x320；当 0 xc 时，p 16x，y1 16x x3 16xx3239x2x226x.日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为y39x2x226x，0c，(c 为常数，且 0cc 时，日盈利额为 0.当 0 xc 时，y39x2x226x，y3294x6x9x2x26x23x3x96x2，令 y0，得 x3 或 x9(舍去)，当 0c0，y 在区间(0，c上单调递增，y 最大值f(c)39c2c226c.当 3c0，在(3，c)上，y0，y 在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减y 最大值f(3)92.综上，若 0c3，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最大；若 3c6，则当日产量为 3 万件时，日盈利额最大 “多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(二十)”(单击进入电子文档)