1、山东省日照市2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.己知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可【详解】；根据集合交集的概念得到故选：C【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，进而化简即可得到复数的虚部。【详解】 所以复数z的虚部为-3所以选B【点睛】本题考查了复数基本运算和基本概念，注意复数的虚部只有数字，不含虚数单
2、位，属于基础题。3.右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重（单位：）.记甲组数据的众数与中位数分别为，乙组灵气的众数与中位数分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】甲组数据的众数为x164，乙组数据的众数为x266，则x1x2；甲组数据的中位数为y165，乙组数据的中位数为y266.5，则y1y2.4.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应函数的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】右平移个单位长度得带,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到,故选C
3、.5.下列函数中为偶函数又在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对选项中的函数分别进行判断即可.【详解】，是偶函数，当时，是减函数，不满足条件；，是偶函数，当时，是增函数，满足条件；，的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件；，在上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件；故选B.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，熟记函数的基本性质是解答的关键,意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
4、析】【分析】根据渐近线与圆相切，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出，从而得到渐近线方程.【详解】可化为设双曲线的一条渐近线方程为且双曲线的渐近线与圆相切所以圆心到渐近线距离为 所以双曲线的渐近线方程为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆相切位置关系问题以及双曲线简单几何性质，属于基础题.7.一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，利用体积公式直接求解即可.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知：主视图是边长为的正三角形，平面平面高是，其中，平面为直角三角形，
5、所以本题正确选项：【点睛】本题考查三视图还原几何体、锥体体积求解，关键在于能够准确还原几何体，属于基础题.8.已知下面四个命题：“若，则或”的逆否命题为“若且，则”“”是“”的充分不必要条件命题存在，使得，则：任意，都有若且为假命题，则均为假命题，其中真命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】对于根据逆否命题的写法，以及或变为且得到命题正确； 时，也成立；含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；命题p，q中只要有一个为假命题，“P且q”为假命题【详解】对于，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故是真命题；对于时，也成立，所
6、以“”是“”的充分不必要条件，故是真命题；对于含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故是真命题；对于命题p，q中只要有一个为假命题，“P且q”为假命题，因而p或q 有可能其中一个是真命题，故是假命题.故选：C【点睛】本题考查了命题的逆否关系，充分不必要条件的判定，含有量词的命题的否定及含有逻辑词“且”的命题的真值情况，属于中档题9.若满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域，将问题通过几何意义转化为可行域内的点与点连线的斜率，根据图像可求解.【详解】约束条件的可行域如图所示（阴影部分）：的几何意义是可行域内的点与连线的
7、斜率由可行域可知由，可得 本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划求解最值类问题，关键是能够明确所求式子的几何意义，通过数形结合解决.10.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（ ）(素数即质数，计算结果取整数)A. 1089B. 1086C. 43
8、4D. 145【答案】B【解析】【分析】由题意可知10000以内素数的个数为，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，则10000以内的素数的个数为=2500，故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.11.已知棱长为的正四面体，则其外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】假设外接球半径为，利用和表示出和，在中利用勾股定理构造方程，求得，从而得到结果.【详解】正四面体如下图所示：由题意可知：若面，则球心必在上，设其外接球半径，则则在中，则 故外接球表面积为本题正确选项：【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积
9、问题，关键是需要确定球心大致位置，然后利用勾股定理构造方程求解半径，属于固定模型.12.若函数有一个极值点为，且，则关于的方程的不同实数根个数不可能为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】分析：详解：由已知，由题意有两个不等实根，不妨设为，因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是3或4或5，不可能是2故选A点睛：本题综合考查了利用导数研究函数单调性、极值及方程根的个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、揄能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问
10、题和解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.，若，则=_【答案】【解析】【分析】根据即可求出，从而可求出向量的坐标，进而求出的值【详解】；故答案为：【点睛】考查平行向量的坐标关系，以及根据向量坐标求向量长度的方法14.已知函数且恒过定点则_【答案】4【解析】【分析】求解出点的坐标，从而得到结果.【详解】当时，可知函数恒过则：本题正确结果：【点睛】本题考查函数定点问题，关键是通过的取值消除的影响，属于基础题.15.设，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可.【详解】原式可变形为：当且仅当，时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，属
11、基础题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，记其前项和为，设（为常数），则_（用表示）【答案】【解析】由题意可得。答案：三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列是递增的等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列通项公式，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.
12、【解析】【分析】（1）根据和求得和，利用通项公式得到，从而可求解出通项公式；（2）由（1）得到，然后利用裂项相消法求出.【详解】（1）由题意知，又解得：或（舍去）设等比数列的公比为，由，可得故（2）由题意知：【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、裂项相消法对数列求和，属于常规题.18.如图，在平面四边形ABCD中，(1)求；(2)求【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求解出结果；（2）利用两角和差公式求出，再利用余弦定理求解出结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得所以（2）在中，由已知可知是锐角，又所以所以在中，由余弦定理可知：所以【点睛】本题考查两角和差公式的应用、正
13、弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.19.如图1，在直角中，分别为的中点，连结，将沿折起，使平面平面，如图2所示.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质得到平面，然后可得结论；（2）利用已知条件的数据求得面积和高，从而求得体积.【详解】（1）证明：由条件可知，而为的中点 又面面，面面，且面平面，又因为平面（2）由题给数据知，为等边三角形，而为中点因此中，又底面中 故三棱锥体积【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的求解问题，属于基础题.20.“水是生命之源”，但是据科学界统计
14、可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中的值；（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由【答案】(1)；(2)万；(3)吨.【解析】【分析】（1）通过频率之和为，构
15、造方程求得结果；（2）计算出样本中不低于吨人数占比，从而求得全市的人数；（3）由频率分布直方图频率分布可知，然后根据平均分布列方程求得相应结果.【详解】（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为即频率分布直方图各小矩形面积之和为解得：（2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为全市月均用水量不低于吨的人数为：（万）（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于吨故假设月均用水量平均分布，则（吨）注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差【点睛】本题考查补全频率分布直方图、利用频率分布直方图估计总体数据特征的问题，
16、属于基础题.21.设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆的方程和“相关圆”的方程；(2)过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点为坐标原点，若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.【答案】（1）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为；（2）或.【解析】【分析】（1）由已知条件计算出椭圆的方程和“相关圆”的方程（2）直线与椭圆相交，联立方程组，由求出之间关系，然后再表示出点到线的距离公式，即可求出结果【详解】解：（1）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以，又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构
17、成直角三角形，所以，故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为（2）设，联立方程组得，即，由条件得,所以原点到直线的距离是，由得为定值又圆心到直线的距离为，直线与圆有公共点，满足条件由，即，即又，即，所以，即或综上，或【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，在计算过程中还要掌握点到线的距离公式，较为综合，需要熟练计算，并且能掌握解题方法22.设函数（1）若，求函数的极值；（2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（即用表示），并确定的单调区间；（提示：应注意对的取值范围进行讨论）（3）在（2）的条件下，设，函数，若存在使得成立，求的取值范围【答案】（1）， ；（2），见解析； （3）.【解析】【分析
18、】（1）求出导函数的根，判断根左右两边导函数的符号，得到函数的单调性，据极大值极小值的定义求出极值；（2）据极值点处的导函数值为0得到a，b的关系；代入导函数中求出导函数的两根，讨论两根的大小；判断根左右两边导函数的符号，据导函数与单调性的关系求出单调区间；（3）据函数的单调性求出两个函数的值域，求出函数值的最小距离，最小距离小于1求出a的范围【详解】（1）当，时，则令得，解得，当时，当时，当时当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，（2）由（1）知是函数的一个极值点，即，解得，则令，得或是极值点，即当即时，由得或由得当即时，由得或由得综上可知：当时，单调递增区间为和，递减区间为当时，单调递增区间为和，递减区间为（3）由（2）知，当时，在区间上的单调递减，在区间上单调递增，函数在区间上的最小值为又，函数在区间上的值域是，即又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，存在使得成立只须仅须【点睛】本题考查利用导函数研究函数的极值：极值点处的值为0；研究函数的单调性：导数大于0对应区间为单调递增区间，导数小于0对应区间为单调递减区间；将存在性问题转化成最值问题