1、“八省联考”2021届高三数学1月考前预测模拟卷一、单选题(本题共8小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合，则（ ）ABCD2设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则（ ）A1iBCD3命题：“”是命题：“曲线”表示双曲线”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4设是与的等差中项，则的最小值为（ ）AB3C9D5已知，则的值为（ ）ABCD6函数在的大致图象是（ ）ABCD7将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C
2、称为线段AB的黄金分割点图中在中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在内任取一点M，则点M落在内的概率为（ ）AB2CD8已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段被双曲线顶点三等分，且两曲线，的交点连线过曲线的焦点F，则双曲线的离心率为（ ）ABCD二、多选题本题共4小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9甲乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ）A甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数B甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数C甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数D甲运动员测试成绩的方差小于乙运动
3、员测试成绩的方差10若函数在上为增函数，则（ ）A实数a的取值范围为B实数a的取值范围为C点为曲线的对称中心D直线为曲线的对称轴11如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）A异面直线所成角为定值BC的面积与的面积相等D三棱锥的体积为定值12定义在上的函数满足：，则关于不等式的表述正确的为（ ）A解集为B解集为C在上有解D在上恒成立三、填空题本题共4小题13已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为_14若函数满足，则在上的值域为_.15已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为_.16记数列的前项和为，已知，且若对任意的，都有，则实数的
4、取值范围为_四、解答题本大题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知中，分别为内角，的对边，_，求角及的面积.18设数列的前项和分别为，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和.19如图，四棱锥，平面，（1）求证：平面上平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值202020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过
5、该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40记作、9:4010:00记作，10:0010:20记作，10:2010:40记作，例如：10点04分，记作时刻64.（）估计这600辆车在9:2010:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:2010:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过
6、该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.附：若随机变量T服从正态分布，则，.21已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求点的轨迹的方程.（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.22已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：.19参考答案1B解：由题意化简集合得：，所以，所以.2B因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z
7、12i，所以z22i，所以.3A曲线表示双曲线，可得，解得,命题：“”是命题：“曲线”表示双曲线”的充要条件,4C解：是与的等差中项，即，即，则，当且仅当，即时取等号.5D因为，所以，6A因为，所以，所以为上的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；当时，所以，故B不正确;7B由几何概型公式知，所求概率为.8D抛物线的焦点为，准线方程为，因为线段被双曲线顶点三等分，所以，即，因为两曲线，的交点连线过曲线的焦点F，所以两个交点为、，将代入双曲线得，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.9AD由图可得甲运动员测试成绩中次环，次环，次环，次环，所以甲运动员测试成绩的中位数为，众数为，平均数为，方
8、差；乙运动员测试成绩中次环，次环，次环，次环，所以乙运动员测试成绩的中位数为，众数为，平均数为，方差，故选项A正确，B不正确，C不正确，D正确，10ACD由题意，函数，令，可得，所以，所以A正确，B不正确；令，可得，所以点为曲线的对称中心，所以C正确；令，可得，所以为曲线的对称轴，所以D正确.11BD解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系则，0，1，设，则，其中，取时，取时，异面直线、所成角不是定值，故错误；由正方体的结构特征可知，又，平面，则，故正确；到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，则到的距离大于1，的面积大于的面积，故错误；到平面的距离为，的面积为定值，三棱锥的体积为定值
9、，故正确故选：12AC令，则，恒成立，即在上单调递增.，.不等式可化为，等价于，即不等式式的解集为，则在上有解，故选项AC正确.13因为，所以，所以，即，所以，.14解：，又，在单调递减，由，函数的值域为.158解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，由，得，由，又，所以，.16依题意，则，两式相减，可得，所以为等差数列，由，得，又，解得，所以，则，所以.令，当时，数列单调递减，而，故故答案为：17选，因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以或.若，由，而，从而，矛盾，舍去.故，接下来求的面积.法一：设外接圆的半径为，则由正弦定理得，.法二：由（1）得，即，或，当时
10、，又，由正弦定理得，当时，同理可得，故的面积为.选，因为，所以，即，所以或（舍），因为，所以.以下同解法同，选，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，18（1）由得，当时，当时，也适合，故.由得，得，当时，得，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述：，.（2），所以，所以，所以，所以，所以.19（1）证明：，平面，平面，又平面，又平面，平面平面（2）以为轴，过平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，由（1）知平面的一个法向量为，由图可得平面与平面所成锐二面角的余弦值为20（）这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
11、：，即1004（）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，即，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.所以，.所以X的分布列为：X01234P（）由（1）得，所以，估计在9:4610:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，由，得，所以估计在在9:4610:40之间通过的车辆数为.21（1）设的坐标为，则，可得，化简得，即动点的轨迹的方程为：；（2）设直线的方程为，过点的直线与曲线的交点为，联立，消去，得（*），则，是方程（*）的两根，且，又，由，可得，即，由于，代入不等式可得：，化简得：，由式，化简不等式得，对任意实数，不等式恒成立，不等式对于一切恒成立等价于，解之得，由此可得：存在正数，对于过点，且与曲线有两个交点，的任一直线，都有且的取值范围是.22（1）函数的定义域是，当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；当时，令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：要证明，即证，即证.设，则，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，且.令，则当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，也是最大值点，且，所以，故成立.