1、第七章 立体几何第二节 空间几何体的表面积与体积1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式2了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 空间几何体的表面积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧_S 圆锥侧_S 圆台侧(rr)l2.多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和答案12rl rl1(2016新课标全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28 D32解析：该几何体是圆锥与圆柱
2、的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r2，底面圆的周长 c2r4，圆锥的母线长 l 222 324，圆柱的高 h4，所以该几何体的表面积 S表r2ch12cl416828，故选 C.答案：C2(必修P36A 组第 10 题改编)一直角三角形的三边长分别为 6 cm，8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为_解析：旋转一周所得几何体为以245 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为 S245 6245 83365(cm2)答案：3365(cm2)知识点二 空间几何体的体积1柱体：V_；2棱锥：V_；3棱台：V13h(S 上S 下 S上S下)；4球：V43R3.答案1Sh
3、2.13Sh3(2016新课标全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.323 C8 D4解析：由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即 2R 3a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R 3，故所求球的表面积 S4R212.答案：A4(必修P28 习题 1.3A 组第 3 题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积为 V1131212a12b12c 148abc，剩下的几何体的体
4、积 V2abc 148abc4748abc,所以 V1V2147.答案：1475三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体积等于_解析：PA底面 ABC，PA 为三棱锥 PABC 的高，且 PA3.底面 ABC 为正三角形且边长为 2，底面面积为1222sin60 3，VPABC13 33 3.答案：3热点命题突破 02 课堂升华强技提能 热点一 空间几何体的表面积【例 1】(1)(2016新课标全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17
5、B18C20 D28(2)(2016黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.73B.172C13 D.173 102 1题图 2题图【解析】(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为 r，故7843r3283，所以 r2，表面积 S784r234r217，选 A.(2)由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面 ABC，上下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB 2，AB2 2.棱台的上底面 积为 121112，下底面 积为 12 222，梯形ACCA的面积为12(12)23，梯形 B
6、CCB的面积为12(12)23，过 A 作 ADAC于 D，过 D 作 DEAB，则 ADCC2，DE 为ABC斜边高的12，DE 22，AE AD2DE2 32，梯形 ABBA的面积为12(22 2)3292，几何体的表面积 S122339213，故选C.【答案】(1)A(2)C【总结反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60C66 D72解析：根据几何体的三视图可得该几何体
7、的直观图为如图所示的 ABCDEF，故其表面积为 SSDEFSABCS 梯形 ABEDS 梯形 CBEFS矩形 ACFD1235123412(52)412(52)53560.故选 B.答案：B热点二 空间几何体的体积【例 2】如图所示，已知 E，F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 A1A，CC1 的中点，则四棱锥 C1B1EDF 的体积为_【解析】(1)法 1：连接 A1C1，B1D1 交于点 O1，连接 B1D，EF，过 O1作O1HB1D 于 H.EFA1C1，且A1C1平面 B1EDF，EF平面 B1EDF，A1C1平面 B1EDF.C1 到平面 B1EDF
8、的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离平面 B1D1D平面 B1EDF，且平面 B1D1D平面 B1EDFB1D，O1H平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高，B1O1HB1DD1，O1HB1O1DD1B1D 66 a.VC1B1EDF13S 四边形 B1EDFO1H1312EFB1DO1H1312 2a 3a 66 a16a3.法 2：连接 EF，B1D.设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1h2B1D1 2a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EF13SC1EF(h1h2)16a3.【答案】16a3【总结反思】(
9、1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15(2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A.23B
10、.33C.43D.32解析：(1)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为 V1131211116，剩余部分的体积 V2131656，所以V1V2165615.(2)如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，容易求得 EGHF12，AGGDBHHC 32，则BHC 中 BC 边的高 h 22.SAGDSBHC12 22 1 24，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC13 24122 24 1 23.答案：(1)D(2)A 热点三 与球有
11、关的切、接问题考向 1 球的内接问题【例 3】已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22【解析】由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 底面都是ABC，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的 2 倍，所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 OABC体积的 2 倍在三棱锥 OABC 中，其棱长都是 1，如图所示，SABC 34AB2 34，高 OD12332 63，VSABC2VOABC213 34 63 26.【答案】A考向
12、2 球的外切问题【例 4】若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则S1S2_.【解析】设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 34 a2 3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即 r14 63 a 612a，因此内切球表面积为 S24r2a26，则S1S2 3a26a2 6 3.【答案】6 3【总结反思】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC两两互相垂直，且
13、PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解.(1)(2017张掖模拟)如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为 V1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2，则 V1V2()A12 2 B8 2 C6 2 D4 2 1题图 2题图(2)如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为()A.66 B.3 C.6 D.33 解析：(1)三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的外接球，就是扩展为长方体的
14、外接球，外接球的直径是 2 2，该几何体的外接球的体积 V143(2)38 23，V2213121 23，所以 V1V28 23 23 4 2.(2)平面 ACD1 截球 O 的截面为ACD1 的内切圆因为正方体的棱长为 1，所以 ACCD1AD1 2，所以内切圆的半径 r 66，所以 Sr2 63616.答案：(1)D(2)C1对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大2要注意将空间问题转化为平面问题3当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用
15、“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利温示提馨请 做：课时作业 43（点击进入）如何巧妙确定各类外接球的球心简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体
16、，这个球是这个多面体的外接球也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：1长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；2正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；3直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；4正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；5若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心【例 1】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，则这个球的表面积是()A16 B20
17、C24 D32【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 2222422 6，半径为 6，球的表面积为 24，故选 C.【答案】C解题策略：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的.二、构造长方体或正方体确定球心1正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；2同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；3若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；4若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将
18、三棱锥补形成长方体或正方体【例 2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接球的体积是_【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则可将三棱锥补形成正方体，从而外接球的直径为 3，半径为32，故所求外接球的体积 V43(32)392.【答案】92 解题策略：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径.设其外接球的半径为 R，则 2R a2b2c2.三、由性质确定球心利用球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心 O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心【
19、例 3】正三棱锥 ABCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧棱长为 2，则球 O 的表面积为_【解析】如图，设三棱锥 ABCD 的外接球的半径为 r，M 为正BCD 的中心，因为 BCCDBD 3，ABACAD2，AM平面 BCD，所以 DM1，AM 3，又 OAODr，所以(3r)21r2，解得 r2 33，所以球 O 的表面积 S4r2163.【答案】163解题策略：本题是运用公式 R2r2d2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们深思.