1、1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为_2全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做_，并用符号“_”表示含有全称量词的命题称为_，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x)3存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做_，并用符号“_”表示含有存在量词的命题称为_，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0)注：特称命题也称存在性命题4含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，p(x0)因此，全称命题的否定是_命题；特称命题的否
2、定是_命题5命题pq，pq，綈p的真假判断(真值表)pqpqpq綈p真真真假假真假假注：“pq”“pq”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题自查自纠1逻辑联结词2全称量词全称命题3存在量词特称命题4x0M，綈p(x0)xM，綈p(x)特称全称5真真假假真假假真真假假真 ()设命题p：nN，n22n，则綈p为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n解：特称命题的否定是全称命题，綈p：nN，n22n.故选C. ()命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*，f(n)N*且f(n)nBnN*，f(n)N*或f(n)nC
3、n0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0解：全称命题的否定为特称命题，因此命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是“n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0”故选D. ()已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()Apq B(綈p)(綈q)C(綈p)q Dp(綈q)解：显然p真，由x2x1，而x1x2，因此“x1”是“x2”的必要不充分条件，q假，綈q真，p(綈q)是真命题故选D. ()若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_解：根据题意，m(tanx)max，而ytan
4、x在上单调递增，有(tanx)maxtan1，m1，m的最小值为1.故填1. 已知命题p：“x0，1，aex”；命题q：“xR，使得x24xa0”若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_解：若命题“pq”是真命题，那么命题p，q都是真命题由p真得ae；由q真知164a0，得a4.因此，ea4.故填e，4类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)33；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数解：(1)是“pq”形式的命题其中p：矩形的对角线相
5、等，q：矩形的对角线垂直该命题为假命题(2)是“pq”形式的命题其中p：33，q：33.该命题是真命题(3)是“pq”形式的命题其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数该命题是真命题(4)是“pq”形式的命题其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数该命题是真命题(5)是“pq”形式的命题其中p：2是4的约数，q：2是6的约数该命题是真命题(6)既不是“pq”命题，也不是“pq”命题，是一个简单命题这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断该命题是真命题【点拨】正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键在解具体问题
6、时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题分别写出由下列各组命题构成的“pq”“pq”“綈p”形式的新命题，并判断其真假(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分解：(1)pq：2是4的约数或2是6的约数，真命题；pq：2是4的约数且2是6的约数，真命题；綈p：2不是4的约数，假命题(2)pq：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；pq：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p：矩形的对角线不相等，假命题类型二含有逻辑联结词命题的综合问题()已知p：方程x2mx10有两个不相等的
7、负实数根；q：不等式4x24(m2)x10的解集为R.若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则实数m的取值范围是_解：p为真命题，有 解得m2.q为真命题，有4(m2)24410，解得1m3.由“pq”为真命题，“pq”为假命题，知p与q一真一假当p真，q假时，由 得m3；当p假，q真时，由 得10，且c1，设p：函数ycx在R上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围是_解：函数ycx在R上单调递减，0c1，即p：0c0且c1，綈p：c1.又f(x)x22cx1在上为增函数，c，即q：00且c1，綈q：c且c1.又“p或q”为真
8、，“p且q”为假，p与q一真一假当p真，q假时，c|0c1.综上所述，实数c的取值范围是.故填.类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假(1)p1：xx|x是无理数，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：xx|xZ，log2x0；(4)p4：xR，x2x0.解：(1)綈p1：xx|x是无理数，x2不是无理数，是真命题(2)綈p2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题(3)綈p3：xx|xZ，log2x0，是假命题(4)綈p4：xR，x2x0，是真命题【点拨】命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是
9、部分和全体，分为特称命题和全称命题否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定已知命题p：x0R，sinx0x0，则綈p为()Ax0R，sinx0x0 BxR，sinxxCx0R，sinx0x0 DxR，sinxx解：原命题为特称命题，其否定为全称命题，即綈p：xR，sinxx.故选D.1含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断2全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(
10、x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找一个xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题3在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的如“x1”中含逻辑联结词“或”，“”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等4一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语等于()大于()小于()是都是否定词语不等于()不大于()不小于()不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1
11、“a和b都不是偶数”的否定形式是()Aa和b至少有一个是偶数Ba和b至多有一个是偶数Ca是偶数，b不是偶数Da和b都是偶数解：“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是偶数”故选A.2()已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则綈p为()Ax00，使得(x01)1Bx00，使得(x01)1Cx0，总有(x1)ex1Dx0，总有(x1)ex1解：全称命题的否定是特称命题故选B.3下列命题中的假命题是()AxR，2x10 BxN*，(x1)20CxR，lgx1 DxR，tanx2解：对于B选项，x1时，(x1)20 ，故选B.4()已知命题p：存在xR，x212x；命题q：若mx2mx1
12、0恒成立，则4m1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列an中，mnpq是amanapaq的充分不必要条件(m，n，p，qN*)，则下列选项中真命题是()A(綈p)(綈q) B(綈p)(綈q)Cp(綈q) Dpq解：当a1.1，x2时，ax1.121.21，logaxlog1.12log1.11.212，此时，ax0且a1，则xR，ax0，显然该命题为假命题(2)全称命题，其否定形式为：x1，x2R，且x1x2，使tanx1tanx2，该命题为真命题例如取x10，x2，有x1x2，但tanx1tanx20，又当x10，x2时，有x1x2，但tan00，tan，所以tanx1tanx2.(
13、3)特称命题，其否定形式为：TR，|sin(xT)|sinx|，该命题是假命题例如T0时，有|sin(x)|sinx|.(4)特称命题，其否定形式为xR，x210.xR时，x20，x2110，故为真命题10设命题p：实数x满足x24ax3a20，命题q：实数x满足(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)由x24ax3a20，得(x3a)(xa)0，ax3a.当a1时，1x3，即p为真命题时，实数x的取值范围是x|1x3由 解得 得2x3，即q为真时，实数x的取值范围是x|2x3若pq为真，则 得2x1”是“a2b21”的()
14、A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：ab1，即ab1.a，b为正数，a2(b1)2b212bb21，即a2b21成立反之，当a，b1时，满足a2b21，但ab1不成立“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件故选A.6设集合A1，2，3，4，5，6，B4，5，6，7，8，则满足SA且SB的集合S的个数是()A57 B56 C49 D8解：集合S的个数为262364856.故选B.7已知p：“a”，q：“直线xy0与圆x2(ya)21相切”，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：由直线xy0与圆x2(ya)2
15、1相切，得圆心(0，a)到直线xy0的距离等于圆的半径，即1，a.因此，p是q的充分不必要条件故选A.8在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为()A(綈p)(綈q) Bp(綈q)C(綈p)q Dpq解：綈p是“甲没有试驾成功”，綈q是“乙没有试驾成功”，(綈p)(綈q)表示“至少有一位学员没有试驾成功”故选A.9()下列叙述中正确的是()A若a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在
16、xR，有x20”Dl是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则解：对于选项A，a的符号不确定，由b24ac0推不出ax2bxc0，A错；对于选项B，当b20时，由ac推不出ab2cb2，B错；对于选项C，命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”，C错，易知D正确故选D.10()对任意的实数x，若x表示不超过x的最大整数，则“|xy|1”是“xy”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：当x0.9，y1时，满足|xy|1，但x0，y1，xy，|xy|1推不出xy反之，若xyn，则nxn1，nyn1，有1xy1，|xy|1，xy|xy|1，综
17、上知，“|xy|1”是“xy”的必要不充分条件故选B.11()给出下列四个命题：x0R，sinx0cosx0；x0(，0)，2x03x0；xR，exx1；(x，y)(x，y)|4x3y100，有x2y24，其中所有真命题是()A B C D解：sinxcosxsin，错；作出函数y2x，y3x的图象，观察可知，当x0(，0)时，2x03x0，错；设f(x)ex(x1)，f(x)ex1，当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)minf(0)0，exx1，正确；x2y2表示原点(0，0)到直线4x3y100上的任一点的距离的平方，(x2y
18、2)min4.x2y24，正确综上知，故选D.12()若集合E(p，q，r，s)|0ps4，0qs4，0rs4且p，q，r，sN，F(t，u，v，w)|0tu4，0vw4且t，u，v，wN，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)card(F)()A200 B150 C100 D50解：对于集合E，当满足0ps4，0qs4，0rs4时，s的值最大，此时分类讨论：当s4时，p，q，r均可取0，1，2，3四个数中的任意一个，此时共有43个不同的值；当s3时，p，q，r均可取0，1，2三个数中的任意一个，此时共有33个不同的值；当s2时，p，q，r均可取0，1两个数中的任意一个，此时
19、共有23个不同的值；当s1时，p，q，r只可取0，此时共有1个不同的值；于是，card(E)1233343100.对于集合F，由于0tu4，0vw4相互独立，于是仅看0tu4，当u4时，t可取0，1，2，3四个数；当u3时，t可取0，1，2三个数；当u2时，t可取0，1两个数；当u1时，t只取0一个数；这样(t，u，v，w)中(t，u)的不同情形有123410种；同理(t，u，v，w)中(v，w)的不同情形也有10种，故集合F中的不同元素个数也是100.故card(E)card(F)200.故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13命题“x0，)，x3x0”的否定是_解：把全
20、称量词“”改为存在量词“”，并把结论加以否定故填x00，)，xx00.14某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_解：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15x)x5，15x5308，得x12(另外，画Venn图易求解)故填12.15设U0，1，2，3，AxU|x2mx0，若UA1，2，则实数m_解：U0，1，2，3，UA1，2，A0，3，即方程x2mx0的两根为0和3，得m3.故填3.16已知p：(xm1)(xm1)0；q：x，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_解：p是q的必要不
21、充分条件，x|m1xm1，即 解得m.当m时，符合题意；当m时，符合题意综上，m.故填.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：mR，方程x2xm0必有实数根；(2)q：xR，使得x2x10.解：(1)綈p：mR，使方程x2xm0无实数根若方程x2xm0无实数根，则14m0，解得m，当m1时，綈p为真(2)綈q：xR，使得x2x10.x2x10，綈q为真18(12分)已知集合Ax|x22x30，xR，Bx|x22mxm240，xR(1)若AB1，3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解：Ax|1x3，Bx|m2x
22、m2(1)AB1，3， 得m3.(2)RBx|xm2，或xm2，ARB，m23或m21，解得m5或m3.实数m的取值范围是(，3)(5，)19(12分)已知x，yR，求证：成立的充要条件是xy0.证明：先证充分性若xy0，则x，y至少有一个为0或同号一定成立再证必要性若，则(xy)2()2，x22xyy2x22y2，xy，xy0.综上可知，命题成立20(12分)已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x1，x，y2，A.由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分条件，AB，有1m2，解得m或m.实数m的取值范围是.21(12分)
23、已知p：指数函数f(x)(2a6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x23ax2a210的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解：若p真，则02a61，得3a.若q真，设g(x)x23ax2a21，则有 得a.p或q为真，p且q为假，p与q一真一假若p真q假，则有 得a；若p假q真，则有 得a3或a.综上知，实数a的取值范围是.22(12分)已知三个集合Ax|x23x20，Bx|x2axa10，Cx|x2bx20，问同时满足BA，ACA的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由解：易知A1，2，Bx|x2axa10x|(x1)x(a1)0，BA，a
24、11，得a2.又ACA，CA，则C中元素有以下三种情况：若C，则方程x2bx20无实根，b280，得2b2；若C1或2，则方程x2bx20有两个相等的实根，b280，得b2，此时C或，不符合题意，舍去；若C1，2，则b3.综上所述，a2，b3或2b0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数4幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况5函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数6函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用