1、明目标、知重点1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法1分式不等式的同解变形法则：(1)0f(x)g(x)0；(2)0；(3)a0.2一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.情境导学上一节我们学习了一元二次不等式的解法，理解了三个“二次”间的对应关系，那么它们有哪些应用？这
2、是本节我们要研究的主要内容探究点一一元二次不等式在生活中的应用例1用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解设矩形的一边长为x(m)，则另一边的长为50x(m)，0x600，即x250x6000.解得20x30.所以，当矩形的一边长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形用S表示矩形的面积，则Sx(50x)(x25)2625(0xa的分式不等式，能否利用解分式方程的方法去分母？为什么？应该怎样解？答一般不能采取去分母的方法，因为不清楚分母h(x)是否大于0，如果能判断出h(x)大于0或者小于0
3、，完全可以采取去分母的方法一般解法是移项、通分化成标准型0(0，0；f(x)g(x)0；例2解下列不等式：(1)0；(2)1；解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x0(1.解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.探究点三不等式的恒成立问题例3设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解(1)要
4、使mx2mx10恒成立，若m0，显然10.若m0，4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述：m.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参
5、变量的不等式；若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解跟踪训练3当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立则m的取值范围是_答案(，5解析构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2)由于当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立则有m5.1若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是_答案2m2解析由题意，得m240，2m2.2若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x0恒成立时，则k的取值范围为_答案解由题意知0，即14k，即k.4解
6、下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)原不等式等价于，解得x1或x2，原不等式的解集为x|x1或x2(2)原不等式可改写为10，即0，(6x4)(4x3)0，xf(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立a2时，原不等式变为x10，即x1.不等式的解集为x|x1或x24若集合Ax|ax2ax10时，相应二次方程中的a24a0，得a|0a4，综上得a|0a45不等式ax22ax(a2)0的解集是，则实数a的取值范围是_答案1a0解析当a0时，20解集为；当a0时，a满足条件：，解得1a0.综上可知，10的解集为(，1)(4，)，则实数a_.答案4解析0(x1)(xa)0(x1)(x4
7、)0，a4.7当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R?解当a210时，a1或1.若a1，则原不等式为10，恒成立若a1，则原不等式为2x10即x，不合题意，舍去当a210时，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解得a1.综上，a的取值范围是.二、能力提升8已知集合M，Nx|x3，则R(MN)_.答案x|x1解析0(x3)(x1)0，故集合M可化为x|3x1，将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案9对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是_答案x3解析设g(a)(x2)a(x24x4)，对任意a1,1，g(a)0恒成立，x3.
8、10方程x2(m3)xm0有两个正实根，则m的取值范围是_答案(0,1解析由题意得解得0m1.11汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？解由题意知，对于甲车，有0.1x0.01
9、x212，即x210x1 2000，解得x30或x10，即x210x2 0000，解得x40或x50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速12国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点即8%)为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(12x%)t，总收购款
10、为2 400m(12x%)元；“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入2 400m8%78%.设税率调低后的“税收总收入”为y元，y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)，所以y2 400m8%78%，即44x2.又0x8，所以0x2.所以x的取值范围是0x2.三、探究与拓展13某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例应在范围内