1、第七章 立体几何专题四 高考解答题鉴赏立体几何从近五年的高考试题来看，立体几何是历年高考的重点，约占整个试卷的 13%，通常以一大一小的模式命题，以中、低档难度为主三视图、简单几何体的表面积与体积，点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容，前者多以客观题的形式命题，后者主要以解答题的形式加以考查着重考查推理论证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势，转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终【典例】(2016新课标全国卷，12 分)如图，已知正三棱锥PABC 的侧面是直角三角形，PA6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为
2、点 E，连接 PE 并延长交 AB于点 G.(1)证明：G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积【标准解答】(1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 ABPD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE.(2 分)又 PDDED，所以 AB平面 PED，故 ABPG.又由已知可得，PAPB，从而 G 是 AB 的中点(4 分)(2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影(5 分)理由如下：由已知可得 PBP
3、A，PBPC.又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，又 PAPCP，因此EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影(7 分)理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC.又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，又 PAPCP，因此EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD23CG.(9 分)由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE23PG，DE13PC.由已知，正三
4、棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2 2.在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF2.(11 分)所以四面体 PDEF 的体积 V131222243.(12 分)【阅卷点评】本题通过正投影考查线面垂直第(1)题较基础，考查学生对垂直的判定和性质的理解；第(2)题较复杂，既考查了学生的抽象推理能力，又考查了学生的计算能力如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将ABE 沿BE 折起到图 2 中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1B
5、E平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为36 2，求 a 的值解：(1)证明：在题图 1 中，因为 ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，BAD2，所以BEAC，即在题图 2 中，BEA1O，BEOC，且 A1OOCO，从而BE平面 A1OC.又在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC12AD，E 为 AD 中点，所以 BC 綊 ED，所以四边形 BCDE 为平行四边形，故有 CDBE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高，由图 1 知，A1O 22 AB 22 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBCABa2，从而四棱锥 A1BCDE 的体积为V13SA1O13a2 22 a 26 a3，由 26 a336 2，得 a6.温示提馨请 做：课时作业 47（点击进入）温示提馨请 做：第七章单元质量检测（点击进入）
