1、习题课数列求和学习目标1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法预习导引1基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.2数列an的an与Sn的关系数列an的前n项和Sna1a2a3an，则an3拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)；(2)()；(3).题型一分组分解求和例1求和：Sn(x)2(x2)2(xn)2.解当x1时，Sn(x)2(x2)2(xn)2(x22)(x42)(x2n2)(x2x4x2n)2n()2n2n；当x1时，Sn4n.综上知，Sn规律方法某些数列，通过适当
2、分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和跟踪演练1求数列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn(其中a0)解当a1时，则ann，于是Sn123n.当a1时，an(1an)Snn(aa2an)n.Sn题型二错位相减法求和例2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上
3、式两边同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得：(1q)Sn1q1q2qn1nqn nqn.Sn.若q1，则Sn123n，Sn规律方法用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和跟踪演练2已知等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数
4、列an的公比为q，由题知：2(a32)a2a4，q32q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n.(2)bnn2n，Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn212223242nn2n12(n1)2n1.Sn2(n1)2n1.题型三裂项相消求和例3求和：，n2.解()，原式(1)()()()(1).规律方法如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项求和法跟踪演练3求和：1.解an2()，Sn2(1).题型四奇偶并项求和例4求和：Sn1357(1)n(2n1)解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n
5、3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn(nN)规律方法通项中含符号数列(1)n，按n为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和跟踪演练4已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.解n为偶数时，令n2k(kN)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1(kN)SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn1数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D.答案B解析an，S5(1)()()1.2数列1，2，3，4，的前n项和为()
6、A.(n2n2) B.n(n1)1C.(n2n2) D.n(n1)2(1)答案A解析123(n)(12n)()(n2n)1(n2n2).3数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数n为()A11 B99 C120 D121答案C解析an，Sn110，n120.4若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an_.答案(2)n1 解析当n1时，a1S1a1，解得a11.当n2时，an SnSn1(an)(an1)anan1，整理可得anan1，即2，故数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故an(2)n1求数列前n项和，一般有下列几种方法1错位相减：适用于一个等差数列和一个
7、等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列3裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项：当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法.一、基础达标1数列，的前n项和为()A. B.C. D.答案B解析由数列通项公式，得()，所以Sn()().2已知数列an的通项an2n1，由bn所确定的数列bn的前n项之和是()An(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)答案C解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，b
8、n的前n项和Sn.3在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31的值是()A13 B76C46 D76答案B解析S1547a15285729，S2241144，S31415a3141512161，S15S22S3129446176.故选B.4等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为S，则数列的前n项和为()A. BSCSq1n DS1q1n答案C解析由已知得是首项为1，公比为的等比数列若q1 ，则其前n项和SS；若q1，则其前n项和Sq1nSq1n.当q1时，适合上式，故SSq1n.5若Sn1234(1)n1n，则S50_.答案25解析S5012344
9、950(1)2525.6在等差数列an中，首项a10，公差d0，若aka1a2a3a7，则k_.答案22解析aka1a2a3a7，a1(k1)d7a1dk121，k22.7已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.因为a37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.所以，an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn()，所以Tn(1)(1)，即数列bn的前n项和Tn.二、能力提升8设an是公差不为0的等差数列，
10、a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A. B.C. Dn2n答案A解析由题意设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1dn.9在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n答案A解析an1anln，an1anlnlnln(n1)ln n.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln
11、 nln 12ln n.10在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a3|an|_.答案解析an为等比数列，且a1，a44，q38，q2，an(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|a3|an|.11已知数列an满足a11，an12an1，(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式an和前n项和Sn.(1)证明an12an1，2，数列an1是公比为2，首项为a112的等比数列(2)解由(1)知an1是等比数列，an1(a11)2n12n.an2n1.Sna1a2an(211)(221)(231)(2n1)(21222n)nn2n1n2.12设数列an满足a12，a
12、n1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12三、探究与创新13已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5，nN.(1)证明数列an1是等比数列；(2)求an的通项公式以及Sn.(1)证明由已知Sn12Snn5，nN，可得n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)，故总有an112(an1)，nN，又a15，a110，从而2，即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列(2)解由(1)得an162n1，所以an62n11，于是Snn62nn6.