1、 基础知识 一、等比数列的基本概念与公式 1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的等于，这个数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的即q(nN*，且n2)或q(nN*)或an比同一个常数公比 2若an是等比数列，则通项an或an，当nm为大于1的奇数时，q用an、am表示为q；当nm为正偶数时，q ana1qn1可变形为anAqn，其中A；点(n，an)是曲线y上一群彼此的点 单调性：an是；a1qn1amqnm孤立递增数列an是；q1an是；q0an为 若a，b，c成等比数列，则称b为a，c的，且b2或b.因此，a，b，c是等比数列递减数列常数数列摆动数列等比中项acb2ac或b，其中ac
2、0 3等比数列an中，Sn 求和公式的推导方法是求和公式变形为SnBqnB(q1)，其中B且q0，q1.已知三数成等比，设三数为或设为 四个数成等比，可设为，其中公比为.乘公比，错位相减法a，aq，aq2q2 4等比数列的判定方法(1)an1anq(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列(2)ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列(3)A anan2(anan1an20，nN*)an是等比数列(4)SnAqnA(A、q为常数且A0，q0,1)an是公比不为1的等比数列 二、等比数列的性质 1amanqmn，q(m，nN*)2在等比数列中，若pqmn，则apaqaman；若
3、2mpq，则aapaq(p，q，m，nN*)3若an、bn均为等比数列，且公比为q1、q2，则数列pan、anbn、仍为等比数列且公比为，q1q1q2 4在等比数列中，等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，anm，an2m仍为等比数列，公比为.5等比数列前n项和(均不为零)构成等比数列，即Sn，S2nSn，S3nS2n，构成等比数列且公比为.6等比数列中依次k项积成等比数列，记Tn为前n项积，即Tk、成等比数列，其公比为.qmqmqk2 7等比数列an的前n项积为Tn，则 当n为奇数时，Tn为中间项)8对于一个确定的等比数列，在通项公式ana1qn1中，an是n的函数，这个函数由正比例
4、函数an 和指数函数uqn(nN*)复合而成 当a10，或a10,时，等比数列是递增数列；当a10,或a10，时，等比数列an是递减数列 当时，是一个常数列 当时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列q10q10q1q1q1q0 易错知识 一、不理解等比数列的定义 1设数列an为等比数列，则下列四个数列：a；pan(p为非零常数)；anan1；anan1其中是等比数列的有_(填正确的序号)答案：二、等比数列的性质应用失误 2等比数列an中，S27，S691，则S4_.答案：28 三、忽视隐含条件失误 3x是a、x、b成等比数列的_条件 答案：既不充分也不必要 四、设元不当失误 4若四个数符号
5、相同成等比数列，还知这四个数的积，则可设这四个数为_ 答案：5若这四个数符号不相同成等比数列，还知这四个数的积，则可设这四个数为_ 答案：五、等比数列中的符号问题 6已知等比数列an中的a3，a9是方程x26x20的两根，则a6_，若改为a2，a10是方程的两根，则a6_.答案：回归教材 1(2009北京西城)若数列an是公差为2的等差数列，则数列2an是()A公比为4的等比数列 B公比为2的等比数列 C公比为的等比数列 D公比为的等比数列 解析：n1，2anan1224，所以数列2an是公比为4的等比数列 答案：A 2等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9()答
6、案：A 3在等比数列an中，若a21，a52，则a11_.答案：8 4(2009北京丰台)设S1393n2(nN*)，则S_.解析：由等比数列求和公式可得：S 答案：5(课本P133,7题原题)已知an是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12S6成等比数列.证明：由已知得2a1q6a1a1q3即2q6q310得q31或q3 当q31时即q1an为常数列，2S3S6S12S6命题成立 当q3 命题成立【例1】an为等比数列，求下列各值(1)已知a3a636，a4a718，an，求n；(2)已知a2a836，a3a715，求公比q；(3)已知q，S815
7、(1)，求a1.命题意图 本题考查等比数列的基本公式 解答(1)解法一：又a3a6a3(1q3)36，a332.ana3qn332 n328n 21，8n1，即n9.解法二：a4a7a1q3(1q3)18且a3a6a1q2(1q3)36，q，a1128 又ana1qn127n128n21 8n1，即n9.(2)a2a8a3a736且a3a715，a33，a712或a312，a73，(2008福建)设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64 C127 D128 答案：C 解析：a5a1q4，16q4.又q0，故q2，S7(课本P129习题3.5,1
8、题)在等比数列an中，a31【例2】(1)已知等比数列an，a1a2a37，a1a2a38，则an_.(2)已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m_(mN*)(3)在等比数列an中，公比q2，前99项的和S99 56，则a3a6a9a99_.分析 利用等比数列的性质解题 解答(1)a1a2a3a 8，当a11、a22、a34时，q2，an2n1，当a14、a22、a31时，(2)an是等比数列，(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，即20210(S3m30)得S3m70.(3)a3a6a9a99是数列an的前99项中的一组，还有另外两组，它们之间存在着必然的联系 设b1a1a
9、4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，则b1qb2，b2qb3且b1b2b356，b3b1q232.答案(1)4 总结评述 整体思想就是从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征，结构特征，以探求解题思想，从而优化简化解题过程的思想方法在数列中，倘若抓住等差、等比数列的项的性质、整体代换可简化解答过程(2009山东济南)在等比数列an中，若a3a5a7a9a1132，则的值为()A4 B2 C2 D4 答案：B 解析：由等比数列的性质可得：等比数列an中，a1an66，a2an1128，前n项的和Sn126，求n和公比q.分析：利用等比数列的性质、建立a1、an的方程组求出
10、n与q.解答：a1ana2an1128，又a1an66，列的前n项和公式时，注意公比是否等于1.如不确定要讨论.【例3】(2008陕西)(文)已知数列an的首项a1 在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)求证对任意nN*都有Sn14Sn 命题意图：本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力 解答：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等
11、比数列(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以，数列an的前n项和Sn 设an，bn是公比不相等的两个等比数列，且cnanbn，证明数列cn不是等比数列 分析：考查等比数列的定义，证明一个数列是等比数列应从定义入手，证明一个数列不是等比数列，只需举出三项不成等比即可 证明：采用分析法证明，设an、bn的公比分别为p、q，pq，cnanbn，c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1(p2q2)由于pq，p2q22pq，又a1，b1不为零，因此cc1c3，故cn不是等比数列 总结评述：本题属于否定型命题，这类问题通常采用分析法或反证法证明，对这些证明方法与解题思想要灵活掌握 1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况 2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3SnmSnqnSm.