1、2.4 线段的和与差1.2021秦皇岛期末如图,A,B,C,D四点在一条直线上,若AB=CD,则下列各式表示线段AC错误的是()A.AC=AD-CDB.AC=AB+BCC.AC=BD-ABD.AC=AD-AB知识点1 线段的和与差答案1.C 因为A,B,C,D四点在一条直线上,AB=CD,所以AC=AD-CD=AD-AB=AB+BC=BD.故C错误.2.2022天津红桥区期末如图,AB=CD,那么AC与BD的大小关系是()A.AC=BDB.ACBDD.不能确定知识点1 线段的和与差答案2.A 因为AB=CD,所以AB-BC=CD-BC,故AC=BD.3.已知线段AB,延长线段AB至点C,使BC
2、=13AB,延长线段BC至点D,使CD=13BC.如果BD=8 cm,那么AB=cm.知识点1 线段的和与差答案3.18 如图,因为BC=13AB,CD=13BC,所以CD=19AB,所以BD=BC+CD=49AB,又因为BD=8 cm,所以AB=18 cm.4.易错题 2021太原期末下列说法正确的是()A.若AP=12AB,则P是线段AB的中点B.若AB=2PB,则P是线段AB的中点C.若AP=PB,则P是线段AB的中点D.若AP=PB=12AB,则P是线段AB的中点知识点2 线段的中点答案4.D A项,当点P在线段BA的延长线上或点A,B,P不在同一直线上时,点P不是线段AB的中点,故A
3、项错误;B项,当点P在线段AB的延长线上或点A,B,P不在同一直线上时,点P不是线段AB的中点,故B项错误;C项,当点A,B,P不在同一直线上时,点P不是线段AB的中点,故C项错误.5.2022张家口宣化区期末如图,CB=4 cm,DB=7 cm,点D为AC的中点,则AB的长为()A.10 cm B.9 cmC.8 cmD.7 cm知识点2 线段的中点答案5.A 由题意知,DC=DB-CB=7-4=3(cm),因为点D为AC的中点,所以AD=DC=3 cm,所以AB=AD+DB=10 cm.6.2022保定期中已知C是线段AB的中点,D是线段BC上一点,则下列结论不正确的是()A.CD=AC-
4、BDB.CD=12AB-BDC.CD=AD-BCD.CD=12BC知识点2 线段的中点答案6.D 如图,因为C是线段AB的中点,所以AC=BC,所以CD=BC-BD=AC-BD=12AB-BD,CD=AD-AC=AD-BC,故A,B,C结论正确.因为D不一定是BC的中点,所以CD不一定等于12BC,故D结论错误.7.一题多解2022南昌期末如图,AB=12 cm,C为AB的中点,点D在线段AC上,且ADCB=13,则DB的长是()A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm知识点2 线段的中点答案7.D 解法一 因为AB=12 cm,C为AB的中点,所以CA=CB=12AB=6 cm.因
5、为ADCB=13,所以AD=2 cm,所以DB=AB-AD=10 cm.解法二 因为ADCB=13,所以设AD=x cm,则CB=3x cm,因为C为AB的中点,AB=12 cm,所以CB=12AB=6 cm,所以3x=6,所以x=2,所以DB=AB-AD=12-2=10(cm).8.教材P74习题B组T1变式2022唐山丰南区月考如图,延长线段AB到C,使AB=14BC,点D是线段BC的中点,CD=4 cm.(1)求AC的长;(2)若点E是线段AC的中点,求ED的长.知识点2 线段的中点答案8.解:(1)因为点D为线段BC的中点,CD=4 cm,所以BC=2CD=8 cm,因为AB=14BC
6、,所以AB=2 cm,所以AC=AB+BC=10 cm.(2)因为E是线段AC的中点,所以EC=12AC=5 cm,所以ED=EC-DC=5-4=1(cm).9.一题多解2022邢台期末如图,已知不重合的C,D,E三点在线段AB上(均不与点A,B重合),且E是线段BC的中点.(1)若D是线段AC的中点,AB=10 cm,AC=6 cm,则DE的长为 cm;(2)若D是线段AB的中点,求线段DE与线段AC之间的数量关系.知识点2 线段的中点答案9.解:(1)5解法一 因为E是线段BC的中点,D是线段AC的中点,所以CD=12AC,CE=12BC,所以DE=CD+CE=12AC+12BC=12(A
7、C+BC)=12AB=5 cm.解法二 因为AB=10 cm,AC=6 cm,所以BC=10-6=4(cm),因为点D是线段AC的中点,AC=6 cm,所以CD=12AC=3 cm,因为点E是线段BC的中点,所以CE=12BC=2 cm,所以DE=CD+CE=5 cm.(2)DE=12AC.理由如下:因为点D是线段AB的中点,点E是线段BC的中点,所以DB=12AB,EB=12CB,所以DE=DB-EB=12AB-12CB=12(AB-CB)=12AC.10.教材P74习题A组T3变式如图,已知线段a,b(ab),按要求用直尺和圆规作图,并保留作图痕迹,不用写出作图步骤.(1)作线段c,使c=
8、a-b;(2)作线段d,使d=a+2b.知识点3 作线段的和与差答案10.解:(1)如图所示,BC即所求作的线段c.(2)如图所示,EH即所求作的线段d.1.教材P73例1变式已知线段a,b,c(如图1所示),小明利用尺规作图画出了线段AB(如图2所示),则线段AB=()A.3a+b-cB.3a-cC.2a+b-cD.2a-1.5c答案1.A2.2022厦门莲花中学期末已知点A,B,C在同一条直线上,若线段AB=3,BC=2,AC=1,则下列判断正确的是()A.点A在线段BC上B.点B在线段AC上C.点C在线段AB上D.点A在线段CB的延长线上答案2.C 因为AB=BC+AC,所以点C在线段A
9、B上.3.如图,工作流程线上A,B,C,D处各有1名工人,且AB=BC=CD.现在工作流程线上要安放一个工具箱,若4个人速度相同,使4人到工具箱取工具所花费的总时间最少,则这个工具箱的安放位置是()A.A与B之间B.C与D之间C.B与C之间D.不能确定答案3.C 要想4人取到工具花费的总时间最少,即4人拿到工具的距离之和最小.由题图可知,位置在A与B之间,拿到工具的距离和大于AD+BC;位置在B与C之间,拿到工具的距离和等于AD+BC;位置在C与D之间,拿到工具的距离和大于AD+BC.故当工具箱的安放位置在B与C之间时,取工具所花费的总时间最少.4.2021鹤壁期中如图,已知线段AB的长度为a
10、,CD的长度为b,则图中所有线段的长度和为()A.3a+bB.3a-bC.a+3b D.2a+2b答案4.A 因为线段AB的长度为a,所以AB=AC+CD+DB=a,又因为CD的长度为b,所以AD+CB=a+b,所以题图中所有线段的长度和为AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b.5.2022佛山南海区期末如图,点C是线段AB上任意一点(不与端点重合),点M是AB的中点,点P是AC的中点,点Q是BC的中点,给出下列结论:PQ=MB;PM=12(AM-MC);PQ=12(AQ+AP);MQ=12(MB+MC).其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案5.C 因为点
11、P是AC的中点,点Q是BC的中点,所以PQ=PC+CQ=12AC+12CB=12AB,因为点M是AB的中点,所以MB=12AB,所以PQ=MB,故正确;因为点M是AB的中点,点P是AC的中点,所以PM=AM-AP=12AB-12AC=12CB,又因为AM-MC=BM-MC=BC,所以PM=12(AM-MC),故正确;由得,PQ=12AB,由已知无法得出AQ+AP=AB,故错误;因为点M是AB的中点,点Q是BC的中点,所以MQ=BM-BQ=12AB-12BC=12AC,又因为MB+MC=AM+MC=AC,所以MQ=12(MB+MC),故正确.6.2021随州期末如图,已知B,C两点把线段AD分成
12、243的三部分,M是AD的中点,CD=6 cm,则线段MC的长为 cm.答案6.3 因为B,C两点把线段AD分成243三部分,所以CD=13AD.因为CD=6 cm,所以AD=18 cm.因为M是AD的中点,所以MD=12AD=1218=9(cm),所以MC=MD-CD=9-6=3(cm).7.2022驻马店二中期末如图,点B,C是线段AD上的两点,点M和点N分别在线段AB和线段CD上.已知AD=9 cm,MN=6 cm,AM=2BM,DN=2CN,则BC=cm.答案7.4.5 因为AD=9 cm,MN=6 cm,所以AM+DN=AD-MN=9-6=3(cm).因为AM=2BM,DN=2CN,
13、所以BM+CN=12(AM+DN)=1.5 cm,所以BC=MN-(BM+CN)=6-1.5=4.5(cm).8.2022邯郸二十五中期末如图,有两根木条AB和CD,其中AB的长为90,CD的长为140,在它们的中点处各有一个小圆孔M和N(圆孔直径忽略不计,M,N抽象成两个点),将它们的一端重合,放置在同一条直线上,求此时两根木条的小圆孔之间的距离.答案8.解:当B,C(或A,D)重合,且其余两端点在重合点两侧时,如图1所示,MN=CN+BM=12CD+12AB=70+45=115;当A,C(或B,D)重合,且其余两端点在重合点同侧时,如图2所示,MN=CN-AM=12CD-12AB=70-4
14、5=25.故此时两根木条的小圆孔之间的距离为115或25.9.2022长沙期末如图,线段AB=1,C1是AB的中点,C2是C1B的中点,C3是C2B的中点,C4是C3B的中点依此类推,则线段AC2 022的长为 .答案9.1-122 022 因为线段AB=1,C1是AB的中点,所以C1B=12AB=121=12;因为C2是C1B的中点,所以C2B=12C1B=1212=122;因为C3是C2B的中点,所以C3B=12C2B=12 122=123以此类推,C2 022B=122 022,所以AC2 022=AB-C2 022B=1-122 022.10.已知线段AB=4.8 cm,点C是线段AB
15、的中点,点D是线段BC的中点,点E在线段AB上,且CE=13AC,求DE的长.答案10.解:当点E在线段AC上时,如图1所示.因为AB=4.8 cm,点C是线段AB的中点,所以AC=BC=12AB=2.4 cm,又因为点D是线段BC的中点,CE=13AC,所以CD=12BC=1.2 cm,CE=0.8 cm,所以DE=CD+CE=1.2+0.8=2(cm).当点E在线段BC上时,如图2所示.因为AB=4.8 cm,点C是线段AB的中点,所以AC=BC=12AB=2.4 cm.因为点D是线段BC的中点,CE=13AC,所以CD=12BC=1.2 cm,CE=0.8 cm,所以DE=CD-CE=1
16、.2-0.8=0.4(cm).综上所述,DE的长为2 cm或0.4 cm.11.2022淮南八公山区期末已知线段AB=20 cm,点C为线段AB上的点,点D,E分别是AC和BC的中点.(1)若BC=14 cm,求DE的长;(2)当点C在线段AB上移动时,DE的长是否改变?若不变,求出DE的值;若改变,请说明理由.答案11.解:(1)如图,因为AB=20 cm,BC=14 cm,所以AC=AB-BC=20-14=6(cm).因为点D,E分别是AC和BC的中点,所以DC=12AC=3 cm,CE=12BC=7 cm,所以DE=DC+CE=3+7=10(cm).(2)DE的长不变,为10 cm.理由
17、如下:因为点D,E分别是AC和BC的中点,所以DC=12AC,CE=12BC,所以DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB.因为AB=20 cm,所以DE=10 cm,所以DE的长不变,为10 cm.一题练透 线段长度的常见计算如图,点C,D是线段AB上的两点(点C在点D的左侧),AB=4 cm.(1)若AD=1.5 cm,BC=3.5 cm,则CD的长为 cm.(2)若ACBC=14,ADBD=23,则CD的长为 cm.(3)若点D是线段AB的中点,点C是线段AD的中点,则CD的长为 cm.(4)若点D是线段AB的三等分点,点C是线段AD的中点,则CD的长为 cm.(5)若点A,B,C
18、,D在数轴(点C为原点,向右为正方向,单位长度为1 cm)上,满足BC-AC=2 cm.点A表示的数为 ;若AD=23BC,则CD的长为 cm,点D表示的数为 .解:(1)1因为AB=4 cm,AD=1.5 cm,所以BD=AB-AD=2.5 cm,所以CD=BC-BD=3.5-2.5=1(cm).(2)45因为ACBC=14,ADBD=23,所以AC=15AB=45cm,AD=25AB=85 cm,所以CD=AD-AC=45 cm.(3)1因为点D是线段AB的中点,所以AD=12AB=2 cm,因为点C是线段AD的中点,所以CD=12AD=1 cm.(4)23或43因为点C是线段AD的中点,所以CD=12AD.由点D是线段AB的三等分点,可知需分情况讨论:当点D是靠近点A的三等分点时,AD=13AB=43 cm,所以CD=1243=23(cm);当点D是靠近点B的三等分点时,AD=23AB=83 cm,所以CD=1283=43(cm).综上,CD的长为23 cm或43 cm.答案(5)-1因为BC-AC=2 cm,所以BC=AC+2,所以AB=AC+BC=AC+AC+2=4 cm,所以AC=1 cm,故点A表示的数为-1.1 1由知,AC=1 cm,则BC=3 cm,所以AD=23BC=2 cm,所以CD=AD-AC=1 cm,故点D表示的数为1.
