1、高考资源网（） 您身边的高考专家高三总复习辅导材料（第12讲）主讲：李旭禾（金陵中学 高级教师 奥赛教练）一、教学进度 高考总复习之八-数列综合问题数列的求和问题，数列的综合问题。二、学习指导无论是给了递推公式，还是给了前n项的和与通项之间的关系式。都不能直接知晓它与我们所熟悉的等差数列或等比数列的哪一种有关，以及是怎样一种关系。这就需要我们仔细观察题设条件及结论的特点，适当进行变化，间接地与等差，等比数列挂上钩，这之中不乏探索的过程，也就是说，这种变化并无明确的法则，只能是依据经验和题目特点进行尝试，这也就是难点之所在。三、典型例题讲评例1已知数列an的前n项和为Sn，且满足对一切正整数n，
2、有Sn=(an1)，在数列bn中，bn= 4n+3。（1）求数列an的通项公式（2）把两个数列的公共项按它们的原先的顺序排成新数列Cn，求它的通项公式。 用SnSn1即可求出an，但此式成立的前提是n2，在此外得到an=3an1后不能立即得出an成等比的结论，一定要先验证a10，切记！ 在第（2）小题中，如何求出“公共项”是关键，首先应注意，“公共项”是指在an和bn中都出现了的项，但相应项数未必一样，不能出现“令an=bn”这样的式子，而只能令an=bm，得出n与m间关系，在本题中，我们不难求出an=3n，令3n=4m+3，n与m的关系怎样求？如写为n=log3(4m+3)或m=，前者来的必
3、是整数，后者亦来必是整娄，只有当n为奇数（记n=2k1）时才是整数，（可用二项式定理说明）了即便这样因b1=7，故a2中奇数项并不能从1开始，而只能从3开始，这都是解题时必须加以注意的。 例2已知在ABC中，三边长的平方a2、b2、c2成等差数列。（1）求证：cotA、cotB、cotC成等差数列；（2）求证：、成等差数列。 在第（1）小题中，cotA、cotB、cotC成等差如何用a2、b2、c2成等差挂上钩？极易盲目转换，误入歧途，已知为边际关系，欲证为角际关系，应往边上靠，但余切公式甚少，化为弦：要证cotA、cotB、cotC成等差，即证、成等差，由正、余弦定理知，即证、成等差，由已知
4、立得。 在第（2）小题中，已知，求证均为边际关系，就需把所求式值a2、b2、c2上靠拢；要证、成等差，这就很好证了，所需注意的是，上面的证明中须d0（否则ba、ca、cb等均为0）而d=0时，a=b=c，可推得=，原结论当然也成立。 例3求和：（1）+（2）+(1)n.求n项之和，常常使用的策略是“拆项”，即把一项变为两项，使两两相抵，只剩下前面和后面的有限个项，如何拆须看题目的特点，如第（1）小题中通项ak=，注意到分子恰为分母两因式之差：an=，“如可拆”也就不成其问题了。 在第（2）小题中，通项ak=(1)k=(1)k1+=(1)k1+，分拆方案也就出来了，所要注意的是前面的整数部分：偶
5、数项时恰为0，而奇数项时为1，故和式也应分n当奇数，偶数两种情形加以考虑。 例4在数列an中，前n项和Sn=na+n(n1)b，（b0）（1）求证an是等差数列；（2）求证：点Pn(an，1)都落下在同一条直线上；（3）若a=1，b=，且P1，P2，P3三点都在以（r，r）为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围。 在（1）中，应先根据an与Sn，Sn1的关系，求出a1和n2时的an，要证an成等差，有三条途径：把n2时的an=f(n)写为等差数列通项一般表达式：a1+(n1)d，并验证n=1时，值恰为a1；证明an+1an为与n无关的定值，要特别检验a2a1是否也是通信定值；证明2an+1=a
6、n+an+2，并特别验证2a2=a1+a3，（注意，切不可由2a2=a1+a3，2a3=a2+a4等具体项得出结论）。 在（2）中把消去n，得一直线方程，即可说明问题。第（3）小题中，称确定P1，P2，P3坐标，使到（r r）距离大于r，解不等式组即可。 例5已知函数f(x)=，g(x)=sinx，、x、y（，）且xy，若f(x)、f()、f(y)成等差数列，g(x)，g()、g(y)也成等差数列，试判断与的大小，证明你的结论。要比与大小，因、均在y=sinx的一个单调区间（，）中，故只要比较sin与sin的大小。由已知f()=，即=，形式臃肿，故分离常数，消肿，=，从而1sin= ，为调和平
7、均值形式，再化反而繁杂了。 又sin=，形式虽然简洁，但与上面的形式有距离，故改写为1sin=，为算术平均值形式。 至此，问题迎刃而解，只须再把等号问题说清楚即可。 例6已知数列an是等差数列，在数列bn中，bn=anan+1an+2，若3a5=8a120，问何时Sn=b1+b2+bn，取得最大值？证明你的结论。 由3a5=8a120，可知an=(n)d，且d0。 bn=(n)(n)(n)d3，由它去求Sn，过程很烦，不如判定bn何时为正，何时为负，详见附录。巩固练习1定义在N上的函数f(x)满足：f(0)=2，f(1)=3，且f(k+1)=3f(k) 2f(k1)，（k1）。（1）求f(n)
8、 （nN）（2）求f(0)+f(1)+f(n)2（1）已知数列an中，an=，求其前n项和。（2）已知数列bn中，b1=1，b2=1. bn+2=bn+1bn，求其通项及前n项之和。3在数列an中，an=(1)n+1（1+(1)n+1）。求其前n项之和。4已知函数f(x)=（a0），f(2)=。又知方程2f(x)=x的解集为0，在数列Cn中，C1=1，Cn+1=f(Cn)。求Cn的通项。 5在数列an中，a1=1，an，an+1是方程x2Cnx+=0的两实根，求数列Cn的通项公式。 6数列an中，a1=1，Sn为其前n项之和，对任意正整数n，Sn+1= 4an+2。（1）求证：数列an+12a
9、n是等比数列；（2）求证：数列是等差数列；（3）求Sn.7p、q、r为两两不等的三个正整数，数列en中，ep=a，eq=b，er=c，a、b、c两两不等。（1）若en为等差数列，则(qr)a+(rp)b+(pq)c=0（2）若en为等比数列，则aqrbrpcpq=18an为等差数列，Sn为其前n项之和，若Sn=()2. 数列bn中，bn=(1)nSn，求bn前n项和Tn.9从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规则，本年度投入800万元，以后每年的投入较上一年减少，本年度当地旅游业收入预计为400万元，由于该项目对旅游业的促进作用，今后旅游业收放每年将
10、比上一年增加。（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； （2）至少经过几年，旅游业总收放才能超过总投入？10数列an中，a1=1，a2=r0，数列anan+1为公比为q（q0）的等比数列，数列bn中，bn=a2n1+a2n. （1）求使anan+1+an+1an+2an+2an+3成立的公比q的取值范围；（2）求bn的通项（3）若r=219.21，q=，求数列的最大项和最小项。参考答案1解法一， f(k+1)2f(k)=f(k)2f(k1)=f(2)2f(1)=f(1)2f(0)=1，f(k)1=2f(k1)1，又f(0)1=1， f(
11、n)=1+12n=2n+1，(nN)解法二，f(k+1)f(k)=2f(k)f(k1)。又f(1)f(0)=1.f(n)=f(n)f(n1)+f(n1)f(n2)+f(1)f(0)+f(0)=+2=2n+1. (nN)f(0)+f(1)+f(n)=(20+21+2n)+(n+1) =+n+1=2n+1+n。2（1）an=1+=1+() Sn=n+(1)=. （2）b1=1，b2=1，b3=2，b4=1，b5=1，b6=2，b7=1，b8=1，至此，知bn为周期6的周期数列，S1=1，S2=0，S3=2，S4=3，S5=2，S6=0bn= Sn= (kN*)3an=(1)n+1=(1)n1+()
12、n1.=(1)n1+()n1 Sn= += n当奇数 (1) n为偶数4由已知，=，2a+b= 4方程=x中，若b=0，则a=2，x=1为其解，而不足0，故b0，此时，x=0为其一解，除此之外，则=1，x=，必须为0（否则与解集为0矛盾），b=2，从而a=1，f(x)=. Cn+1=，=1+，+1=2(+1) 又+1=2 +1=22n1=2n，Cn=.5anan+1=，以n=1代入知a2=.又an+1an+2=，两式相除，=，说明an的奇数项构成首项为1，公比为的等比数列，偶数项构成以为首项，为公比的等比数列。 an= () n为奇数 () n为偶数Cn=an+an+1= ()+()=3()
13、n为奇数 ()+()=() n为偶数.6（1）Sn+1= 4a2+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，有 an+2= 4an+14an. 即an+22an+1=2(an+12an). 又a1+a2=S2= 4a1+2， a22a1=a1+2=3. 数列an+12an是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）由（1）an+12an=32n1， 即=，故数列构成首项，公差的等差数列； （3）由（2）=(n1)， an=(3n4)2n1+2，当n2时，Sn=4an1+2=(3n4)2n1+2.当n=1时，上式值为1+2=1，恰为S1.Sn=(3n4)2n1+27p、q、r为两两不等之正整数，a、b
14、、c也两两不等，数en不是常数列.（1）bc=(qr)d, ca=(rp)d，ab=(pq)d.左=a+b+c=0 （dan之公差）（2）=Qqr，=Qrp ，=Qpq （Q为an之公比）左abc. logQ左=logQa(logQblogQc)+logQb(logQclogQa)+logQc(logQalogQb)=0左=18a1=S1=，解得a1=1，a2+1=，解得a2=1或3，但若a2=1，则d=2，从S3起Sn必为负数，与Sn=矛盾，a2=3，d=2。Sn=n+2=n2.Tn=12+2232+42+(1)nn2. = (21)(2+1)+(43)(4+3)+n(n1)n+(n1) n
15、为偶数 (2)(2+1)+(n1)(n2)(n1)+(n2)n2 n为奇数 = 1+2+3+4+(n1)=n n为偶数 1+2+3+4+(n2)+(n1)n2 n为奇数 = n为偶数 n为奇数= n为偶数 n为奇数=(1)n9an= 4000(10.8n) bn=1600(1.25n1)令1600()n1)4000(1()n). 整理得()2n()n+0， ()n 或1（舍去）n4， 至少需要5年。10（1）1+qq2，q(，0)(0，). 又q0 q(0，)（2）q=，说明an的奇数项构成首项为1，公比为q的等比数列，偶数项构成首项r，公比q的等比数列，bn=a2n1+a2n=(1+r)qn
16、1. （3）由已知，bn=219。2()n1=2202n ，log2bn=20.2n，故的通项（第n项为），当n=20时为负值4，为最小项，上式可与1，在1，19并调减减且小于1，故n=21时当最大项是附录例1（1）当n=1时，a1=S1=(a11)， a1=3 当n2时，Sn=(a11) an=3an1. an=3n（2）设an=bm，即3n=4m+3 (41)n= 4m+3 ，左边按二项式定理展开后，被4除余(1)n=1，故n为奇数，又b1= 41+3，故与之相应的an中的n应从3开始，即Cn中，C1=33，q=9 Cn=339n1=32n+1例2（1）要证cotA、cotB、cotC成等
17、差，即证、成等差，由正余弦定理，即证2R、2R、2R成等差。亦即b2+c2a2，c2+a2b2，a2+b2c2成等差。由已知a2、b2、c2成等差，2a2，2b2、2c2成等差。a2+b2+c22a2、a2+b2+c22b2，a2+b2+c22c2成等差.即b2+c2a2，c2+a2b2，a2+b2c2成等差cotA、cotB、cotC成等差。（2）记a2、b2、c2的公差为d若d=0即a2=b2=c2，从而a=b=c则=，它们当然成等差数列。若d0，要证、成等差，即证、成等差，亦即、成等差，为此，只要证明2= 即可，此式显然成立，、构成等差数列。例3（1）原式=+=（）+（）+（）=1=。（
18、2）原式=(1+)+(1+)(1+)+(1)n(1+)=1+11+(1)n()+()()+(1)n() =1+(1)n1+(1)n = + 当n为奇数时 当n为偶数时 =1+。 例4（1）a1=s1=a 当n2时，an=SnSn1=a+(n1)2b，当n=1时值恰为a. a1是首项为a，公关为2b的等差数列，an=a+2(n1)b.（2） 故pn都在直线y=+1上.（3）P1=（a，a1），P2（a+2b，a+b1），P3=（a+4b，a+2b1）令a=1，b=，故P1（1，0），P2（2，），P3（3，1）由题设，解得r（，）（4+，+）例5f(x)=1 +，f(x)，f()，f(y)成等差
19、数列。则，也成等差数列，1sin=而=，故1=若a、b0，则+0，又，等号当且仅当a=b时成立，今令1sinx=a，1y=b，且圆x、y(，)，xy，sinxsiny，1x1y，从而有1sin1sin，sinsin，。 例63a5=8a12=8(a5+7d)，5a5=56d0，d=0，a5=d，从而an=d+(n5)=(n)d. bn=(n)(n)(n)d3，d0，故知当n1，2，1416时bn为正数，其余为负数，故知当n=14或16时，Sn才有可能最大.b15+b16=d3(15)(15)(15)+(16)(16)(16) =d3(15)(15)(15)+(15)(15) =d3(+)(+)0 S14最大。- 10 - 版权所有高考资源网