1、直线与方程预习提纲1斜率及斜率公式：倾斜角：倾斜角与斜率的关系：2直线方程的五种形式点斜式：斜截式：两点式：截距式：一般式：3两直线平行与垂直4方程组的解与交点个数的关系直线系方程：5两点间距离公式：中点公式：点到直线的距离公式：直线与方程教案例 1：已知直线 l1 的倾斜角1300，直线 l2l1，求 l1、l2 的斜率。例 2：一条直线经过点 P1(2，3)，倾斜角 45，求这条直线方程，并画出图形.例 3：三角形的顶点是 A(5，0)、B（3，3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。例 4：已知直线 m 的倾斜角的余弦值等于 45，在 y 轴上的截距为2，求直线方程。例 5：
2、求过点 P（5，4），且与 y 轴夹角为 3 的直线方程。例 6：一条直线经过点 A（2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为 1，求这直线的方程。例 7：求通过点 P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。例 8：求斜率为 k 且被两坐标轴截得线段为定长 m 的直线方程。例 9：已知直线 l 在 x 轴上的截距比 y 轴上的截距大 6，且过点（4，4），求其直线方程。例 10：已知直线经过点 A(6,-4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.例 11：把直线 l 的方程 x2y60 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画图.例 12：直线 l 过
3、 P（3，2）且与 l：x3y9=0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，求直线 l 的方程。例 13：已知点 P（6，4）和直线 l1：y=4x，求过 P 点的直线 l，使它与直线 l1 以及 x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。例 14：若一直线 l 被直线 l1：4xy6=0 和 l2：3x5y6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。例 15：已知直线方程 l1：2x4y70，l2：x2y50，证明 l1l2 例 16：求过点 A（1，-4）且与直线0532 yx平行的直线的方程.例 17：求与直线 l1：AxByC=0 平行的直线方程。例 18：求和直线
4、2x6y11=0 平行，且与坐标轴围成的三角形面积为 6 的直线方程。例 19：ABC 中，A(1，1),B(3，5),C(5，1),直线 lAC,且 l 平分ABC 的面积，求 l 的方程。例 20：求过点 A(2,1),且与直线0102 yx垂直的直线l 的方程.例 21：已知三角形两顶点是 A(10,2),B(6,4),垂心是 H（5，2），求第三个顶点 C 的坐标。例 22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21yxlyxl 例 23：已知两条直线 l1：xmy6=0，l2：（m2）x3y2m=0，当 m 为何值时，l1与 l2（1）相交（2）平行（3）
5、重合 例 24：已知两条直线 l1：xm 2y6=0，l2：（m2）x3my2m=0，问当 m 为何值时，l1与 l2 （1）平行（2）重合（3）相交 例 25：求点 P0（-1，2）到下列直线的距离：（1）.23)2(;0102xyx 例 26：求平行线0872 yx和0672 yx的距离.例 27：已知 l1：AxByC10，l2：AxByC20，求 l1与 l2间的距离。例 28：求与直线 3x7y5=0 的距离为 2 的直线方程。例 29：求两直线 l1：xy2=0，l2：7xy4=0 所成角的平分线方程。例 30：求过点 P（1，2）且与两点 A（2，3），B（4，5）距离相等的直线
6、 l 的方程。例 31：求过点 P（1，1）且被两平行直线 3x4y13=0 与 3x4y7=0 截得线段的长为4 2 的直线方程。例 32：求经过两已知直线 l1：x3y5=0 和 l2：x2y7=0 的交点及点 A（2，1）的直线l 的方程。例 33：设直线方程为（2m1）x（3m2）y18m5=0，求证：不论 m 为何值时，所给的直线经过一定点。直线与方程教案例 1：已知直线 l1 的倾斜角1300，直线 l2l1，求 l1、l2 的斜率。解：l1 的斜率 k1tan1tan300 33l2 的倾斜角29003001200，l2 的斜率 k2tan2tan1200tan600 3例 2：
7、一条直线经过点 P1(2，3)，倾斜角 45，求这条直线方程，并画出图形.解：这条直线经过点 P1(2，3)，斜率是 ktan4501.代入点斜式方程，得 y3x2，即 xy50这就是所求的直线方程，图形略例 3：三角形的顶点是 A(5，0)、B（3，3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。解：直线 AB 过 A(5，0)、B（3，3）两点，由两点式得y030 x（5）3（5）整理得：3x8y150，即直线 AB 的方程.直线 BC 过 C(0，2)，斜率是 k2（3）0353,由点斜式得:y353（x0）整理得:5x3y60，即直线 BC 的方程.直线 AC 过 A(5，0)，C
8、(0，2)两点，由两点式得:y020 x（5）0（5）整理得：2x5y100，即直线 AC 的方程.例 4：已知直线 m 的倾斜角的余弦值等于 45，在 y 轴上的截距为2，求直线方程。解：cos 45，0k tan34，得 y 34 x2例 5：求过点 P（5，4），且与 y 轴夹角为 3 的直线方程。x 3 y54 3=0 或 x 3 y54 3=0例 6：一条直线经过点 A（2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为 1，求这直线的方程。解法一：设直线方程为 xa yb=1，则有：2a+2b=112 ab=1解得 a=1，b=2 或 a=2，b=1直线方程为x1 y2=1 或 x2 y1
9、=1解法二：令 y2=k（x2）从 y=0 得 x=2k 2从 x=0 得 y=2k212（2k 2）（2k2）1得 k=12 或 k=2例 7：求通过点 P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。解：设直线方程为 xa ya=1，则有：2a 3a=1 得 a=5直线方程为 x5 y5=1又：直线过原点 k=32y=32 x例 8：求斜率为 k 且被两坐标轴截得线段为定长 m 的直线方程。解：设直线方程为 y=kxb，则有：b2b2k2=m2即 b=km1k2y=kxkm1k2例 9：已知直线 l 在 x 轴上的截距比 y 轴上的截距大 6，且过点（4，4），求其直线方程。解：设直线方程
10、为 y4=k（x4），则：（44k，0），（0，44k）44k=44k6 得 k=2 或 k=12即 y4=2（x4）或 y4=12（x4）例 10：已知直线经过点 A(6,-4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点 A(6，4)并且斜率等于43 的直线方程的点斜式是:y443（x6）化成一般式，得 4x3y120.例 11：把直线 l 的方程 x2y60 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画图.解：将原方程移项,得 2yx6两边除以 2，得斜截式 y12 x3因此，直线 l 的斜率 k12，它在 y 轴上的截距是 3，在上面的方程中令 y0，
11、可得 x6，即直线 l 在 x 轴上的截距是6.由上述内容可得直线 l 与 x 轴、y 轴的交点为 A（6，0）、B（0，3），过点 A、B 作直线，就得直线 l.（如右图）.例 12：直线 l 过 P（3，2）且与 l：x3y9=0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，求直线 l 的方程。解法一：求 k解法二：求 l 与 x 轴的交点坐标例 13：已知点 P（6，4）和直线 l1：y=4x，求过 P 点的直线 l，使它与直线 l1 以及 x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。解：设 l 与 l1 的交点为 Q（x1，4x1）（x11），则直线 l 的方程为 y4=4x14x16(
12、x6)l 与 x 轴的交点为 R（5x1x11，0）S 10 x12x1110 x12Sx1S=0由0,得：S40当 S40 时，x12，此时：xy10=0例 14：若一直线 l 被直线 l1：4xy6=0 和 l2：3x5y6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。解：设 l：y=kx由y=kx4xy6=0得 x=64k由y=kx3x5y6=0得 x=635k 64k 635k=0 k=16得 l：x6y=0例 15：已知直线方程 l1：2x4y70，l2：x2y50，证明 l1l2 证明:把 l1、l2 的方程写成斜截式 l1：y12 x74，l2：y12 x52 12121
13、,lbbkk 2l 例 16：求过点 A（1，-4）且与直线0532 yx平行的直线的方程.解:已知直线的斜率是23,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是23.根据点斜式,得到所求直线的方程是:)1(324xy 即01032 yx.例 17：求与直线 l1：AxByC=0 平行的直线方程。解:所求直线 l 的斜率 kAB 所求直线方程为：y=AB xb 即：AxByBb=0 也就是 AxByb=0 例 18：求和直线 2x6y11=0 平行，且与坐标轴围成的三角形面积为 6 的直线方程。解:设所求直线方程为 2x6yb=0 则有：（0，b6）,（b2,0）S=12b212=6b2=14
14、4 b=12 即：2x6y12=0 或 2x6y12=0 例 19：ABC 中，A(1，1),B(3，5),C(5，1),直线 lAC,且 l 平分ABC 的面积，求 l 的方程。解:kAC=1151=12 设 l：y=12 xb 且交 AB 于 D l 平分ABC 的面积 BDBA=12BDDA=121=2 1 D 点坐标：x=4 22 2,y=6 22 2则：6 22 2=124 22 2 b得 b=135 22 l：x2y135 2=0例 20：求过点 A(2,1),且与直线0102 yx垂直的直线l 的方程.解:直 线0102 yx的 斜 率 是-2,因 为 直 线 l 与 已 知 直
15、 线 垂 直,所 以 它 的 斜 率为:2121 k 根据点斜式,得到l 的方程:),2(211xy即02 yx.解法二:设所求直线方程为 x2yb=0 则：221b=0 得 b=0 l：02 yx例 21：已知三角形两顶点是 A(10,2),B(6,4),垂心是 H（5，2），求第三个顶点 C 的坐标。解:kBH=2 kAC=12 lAC：y2=12（x10）又 BCy 轴 C（6，6）解法二:kAB=18kCH=8 又 H（5，2）lCH：y2=8（x5）又 BCy 轴 C（6，6）例 22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21yxlyxl 解:解方程组2
16、2022022yxyxyx得 所以,l1与 l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为kxy,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得1k,所以所求直线方程为.xy 例 23：已知两条直线 l1：xmy6=0，l2：（m2）x3y2m=0，当 m 为何值时，l1与 l2（1）相交（2）平行（3）重合 解:当A1A2=B1B2 时，1m2=m3，解得 m=1 或 m=3 当A1A2=C1C2 时，1m2=62m，解得 m=3 （1）当 m1 且 m3 时，l1与 l2相交（2）当 m=1 时，l1l2（3）当 m=3 时，l1与 l2重合。例 24：已知两条直线 l1：xm 2y6=0，l2：（
17、m2）x3my2m=0，问当 m 为何值时，l1与 l2 （1）平行（2）重合（3）相交 解:当 m=0 时，l1：x6=0，l2：x=0，此时 l1l2 当 m0 时，m21=3mm2 得 m=3 或 m=1 m21=2m6得 m=3 （1）当 m=0 或 m=1 时，l1l2 （2）当 m=3 时，l1与 l2重合（3）当 m0，m1 且 m3 时，l1与 l2相交。例 25：求点 P0（-1，2）到下列直线的距离：（1）.23)2(;0102xyx 解：（1）根据点到直线的距离公式得.5251012102)1(222d（2）因为直线23 x平行于 y 轴，所以.35)1(32d 例 26
18、：求平行线0872 yx和0672 yx的距离.解:在直线0672 yx上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线0872 yx的距离就是两平行线间的距离.因此:5353145314)7(28073222d.例 27：已知 l1：AxByC10，l2：AxByC20，求 l1与 l2间的距离。略解：（0，C1B）l1 d=A0B(C1B)C 2/A2B2=C 2C 1/A2B2 例 28：求与直线 3x7y5=0 的距离为 2 的直线方程。解：设 P（x，y）是所求直线上一点，则：3x7y5949=23x7y5=2 58 3x7y52 58=0例 29：求两直线 l1：xy2=0，
19、l2：7xy4=0 所成角的平分线方程。解一：设 P（x,y）是角平分线上任意一点，则：xy22=7xy45 2得 5（xy2）（7xy4）即：x3y7=0（舍）或 6x2y3=0解二：k1=1，k2=7 k11k 7k17k得 k=13（舍）或 k=3例 30：求过点 P（1，2）且与两点 A（2，3），B（4，5）距离相等的直线 l 的方程。解：l 与 x 轴不垂直可设 l 的方程为：y2=k(x1)即：kxy2k=0得：2k32kk 21=4k52kk 21k=32 或 k=4所求直线方程为：4xy6=0 或 3x2y7=0例 31：求过点 P（1，1）且被两平行直线 3x4y13=0
20、与 3x4y7=0 截得线段的长为4 2 的直线方程。解：两平行线间的距离为：7(13)3 24 2=4所求直线与平行线的夹角为 45 0，设其斜率为 k，则：k34134 k=1 解得 k=17 或 k=7所求直线方程为：y1=7(x1)或 y1=17(x1)即：7xy6=0 或 x7y8=0例 32：求经过两已知直线 l1：x3y5=0 和 l2：x2y7=0 的交点及点 A（2，1）的直线l 的方程。略解：x3y5(x2y7)=0将 A（2，1）代入得：107l：3x41y35=0例 33：设直线方程为（2m1）x（3m2）y18m5=0，求证：不论 m 为何值时，所给的直线经过一定点。略证：方程化为 x2y5m（2x3y18）=0 x2y5=02x3y18=0得（3，4）