1、3.2全集与补集学 习 目 标核 心 素 养1.理解全集、补集的概念(重点)2会求给定集合的补集(重点)3熟练掌握集合的综合运算，并能解决简单的应用问题(难点)1通过学习全集、补集的概念，培养数学抽象素养2通过集合间的交、并、补的运算，提升数学运算、逻辑推理素养.阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题1全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素(2)记法：全集通常记作U.思考：全集唯一吗？我们研究奇数或偶数的有关问题时，应选取的全集通常是什么？提示全集不唯一，通常选取整数集作为全集
2、2补集文字语言设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作UA符号语言UAx|xU，且xA图形语言性质A(UA)U，A(UA)，U(UA)A1已知全集U1,2,3,4，集合A1,4，B2,4，则U(AB)()A1,3,4B3,4C3D4C因为AB1,2,4，U1,2,3,4，所以U(AB)32设全集U1,2,3,4,5，A1,2,4，B2，则A(UB)()A1,2,3,4,5B1,4C1,2,4D3,5BUB1,3,4,5，又A1,2,4，则A(UB)1,43若全集UR，集合Ax|x1，则UA_.x|x1如图所示：由上图知，U
3、Ax|x14设全集U1,2,3,4,5，UA1,3,5，则A_.2,4由补集的定义知，A2,4Venn图在补集中的应用【例1】图中阴影部分所表示的集合是()ABU(AC)B(AB)(BC)C(AC)(UB)DU(AC)BA阴影部分可表示为BU(AC)1当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；2当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；3应用题常用Venn图分析求解1已知全集U，集合A1,3,5,7,9，UA2,4,6,8，UB1,4,6,8,9，则集合B_.2,3,5,7借助Venn图，如图所示得U1,2,3,4,5,6,7,8,9因为UB1,4,6,8,9，所以B2,3,5,7补集的有
4、关运算【例2】(1)设全集UR，集合Ax|x3，Bx|3x2，则UA_，UB_.(2)设Ux|5x2，或2x5，xZ，Ax|x22x150，B3,3,4，则UA_，UB_.(1)x|x2(2)5，4,3,45，4,5(1)因为Ax|x3，所以UARAx|x3又因为Bx|32(2)法一：在集合U中，因为xZ，则x的值为5，4，3,3,4,5，所以U5，4，3,3,4,5又Ax|x22x1503,5，所以UA5，4,3,4，UB5，4,5法二：(Venn图法)可用Venn图表示则UA5，4,3,4，UB5，4,5求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补
5、集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.2(1)已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB()A3B4C3,4D(2)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|22所以RSx|x2而Tx|4x1，所以(RS)Tx|x2x|4x1x|x1与补集相关的参数值的求解探究问题1设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，求
6、实数a的值提示：UA5，5U，且5A.a22a35，解得a2，或a4.当a2时，|2a1|35，此时A3,2，U2,3,5符合题意当a4时，|2a1|9，此时A9,2，U2,3,5，AU，故a4舍去综上知a2.2设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围提示：由已知Ax|xm，得UAx|xm，因为Bx|2x4，(UA)B，所以m2，即m2，所以实数m的取值范围是m|m23设全集UR，Mx|3ax2a5，Px|2x1，若M(UP)，求实数a的取值范围提示：UPx|x1，因为M(UP)，所以分M，M两种情况讨论(1)M时，应有3a2a5，所以a5.(2)M时，如图
7、可得：或所以a或a5，综上可知，实数a的取值范围为.【例3】已知集合Ax|1x2，Bx|xa，若(RA)BR，求实数a的取值范围思路探究先求出RA，再借助数轴寻找a满足的条件解RAx|x1，或x2画出符合题意的图形由上图得，a2.(变条件)将例3中的“(RA)BR”，改为“A(RB)”，求实数a的取值范围解由A(RB)，得AB.画出符合题意的图形：由图，得a2.由集合补集求参数的方法1对全集概念的三点理解(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研
8、究问题的不同而有不同的选择所以说全集是一个相对的概念2补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想(3)从符号角度来看，若xU，AU，则xA和xUA二者必居其一求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示3与集合的交、并、补运算有关的求参
9、数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形4不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集1思考辨析(1)全集包含任何一个元素()(2)ACBC.()(3)若xU，AU，则xA，或xUA.()答案(1)(2)(3)2已知全集UZ，集合A0,1，B1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()A1,2B1,0C0,1D1,2A阴影部分表示的集合为B(ZA)1,23已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，则A(UB)_.1,2,3UB2，A(UB)1,321,2,34设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，求实数m的值解由UA1,2，得A0,3所以93m0，解得m3.