1、第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征【自主预习】主题1：空间几何体 观察下面的图片，回答有关问题：1.图片中，(1)，(2)，(3)代表的物体的形状有何特 点？由此你能得出什么结论？用文字语言描述：这些物体都是由_ _围成的.若干个平面多边 形 用图形语言描述：多面体的有关概念：顶点 面 棱(1)定义 一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.(2)各部分名称 面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边；顶点：棱与棱的公共点.2.图片中，(4)，(5)，(6)，(7)代表的物体的形状又有何特点？由此你能得出什么结论？用文字语言
2、描述：图片中(4)，(5)，(6)，(7)代表的物体都可看成平面图形绕定直线旋转而成 用图形语言描述：旋转体的有关概念：(1)定义：我们把由_ _绕它所在平面内的_旋转所形成的封闭 几何体叫旋转体.轴 一个平面图 形 一条定直线(2)轴：_.这条定直线 主题2：棱柱的结构特征 观察下面的多面体：通过观察你能发现什么？用文字语言描述：(1)上、下两个底面是_ _.(2)侧棱长都_，侧面是_.用图形语言描述：平行的，且 全等 相等 平行四边形 侧面 侧棱 底面 顶点 棱柱的有关概念：1.定义：有两个面互相_，其余 各面都是_，并且每相邻两个_的公共边 都互相_，由这些面所围成的多面体叫棱柱.平行
3、四边形 四边形 平行 2.有关概念：(1)底面：_.(2)侧面：_.(3)侧棱：_.(4)顶点：_.两个互相平行的面 其余各面 相邻侧面的公共边 侧面与底面的公共顶点 主题3：棱锥的结构特征 观察下面的几何体：通过观察，你能得出什么结论？用文字语言描述：(1)有一个面是_.(2)侧面都是_，且它们共顶点.用图形语言描述：多边形 三角形 棱锥的有关概念：1.定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.2.有关概念：(1)底面：多边形的面.(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面.(3)侧棱：相邻侧面的公共边.(4)顶点：各侧面的公共顶点.主题4：棱台的
4、结构特征 观察如图所示的几何体，回答有关问题：1.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的关系如何？提示：它们是相似的多边形.2.各棱AA，BB，CC，DD延长后是否交于一点？提示：交于一点.3.图中几何体ABCD-ABCD是如何得来的？提示：几何体ABCD-ABCD是由一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥所得到的.棱台的有关概念：1.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.2.有关概念：(1)上底面：原棱锥的截面.(2)下底面：原棱锥的底面.(3)侧面：其余各面.(4)侧棱：相邻侧面的公共边.(5)顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.【深度思考】结合教材P
5、3、4中棱柱、棱台、棱锥的定义，你认为 它们三者有怎样的关系？1.棱锥_.2.棱台_ _.是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的 则可以看成用一个平行棱锥底面的平面截棱 锥所得到的【预习小测】1.下面没有体对角线的一种几何体是()A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱【解析】选A.三棱柱只有面对角线，没有体对角线.2.下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台(仅填相应序号).【解析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征可知为棱柱，为棱锥，为棱台.答案：3.如图的多面体有_个面，_个顶点.【解析】根据多面体面、顶点的概念，可知该几何体有8个面，12个顶点.答案：8 12【备选训练】1.下面图
6、形所表示的几何体中，不是棱锥的为()【解析】选A.根据棱锥的结构特征，可知A不是棱锥.2.关于棱台，下列说法正确的是()A.两底面可以不相似 B.侧面都是全等的梯形 C.侧棱长一定相等 D.侧棱延长后交于一点【解析】选D.只有D符合棱台的特征.选项A，B，C均不正确.3.如图，甲、乙、丙是不是分别为棱锥、棱台、棱柱等几何体？(结合教材P3、4棱柱、棱锥、棱台的结构特征)【解析】图甲中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图乙不是棱台，因为侧棱延长线不能相交于同一点；图丙不是棱柱，因为侧面的公共边不互相平行.【互动探究】1.一个多面体最少有几个面？提示：一个多面体最少有4个面.
7、2.在棱柱中，过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形？提示：因为棱柱每条侧棱都相等，每个侧面都是平行四边形，所以侧棱平行且相等，因此过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.3.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？提示：未必是棱锥.如图所示的几 何体，满足各面都是三角形，但 这个几何体不是棱锥，因为它不 满足条件“其余各面都是有一个 公共顶点的三角形”.4.用一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：不一定，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得到棱台.【探究总结】知识归纳：方法总结：1.棱柱的判断方法(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形.(2)两个底面与平行于底面的截面
8、是全等的多边形.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.2.棱锥的判断方法(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形.棱台的判断方法(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形.【题型探究】类型一：几何体概念的理解与应用【典例1】(1)下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A.三棱锥有四个面是三角形 B.棱锥都是有两个面是互相平行的多边形 C.棱锥的侧面都是三角形 D.棱锥的侧棱相交于一点(2)下列三个命题，其中正确的有()有两
9、个面平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱；用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解题指南】(1)根据棱锥的结构特征判断.(2)由棱柱、棱台的结构特征判断.【解析】(1)选B.根据棱锥的结构特征知，棱锥中不存在互相平行的多边形.(2)选A.如图1所示的几何体，由两个等底的四棱柱组合而成，它有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但相邻两个侧面的公共边并不都平行，因此，这个几何体不是棱柱，故错；的截面不一定平行于底面，故错；由图2可知也不正确.【规律总结】解答空间几何体概念辨析题的关注点
10、(1)认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，采用举反例法排除错误的选项.(2)从底面多边形的形状，侧面形状以及它们之间的位置关系等角度紧扣几何体的结构特征进行判断.【巩固训练】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.(2)棱锥的侧面只能是三角形.(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_.【解析】(1)正确.棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形.(2)正确.由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.(3)正确.四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.(4)错误.如图所示四棱锥被平面截成 的两部分都是棱锥.答
11、案：(1)(2)(3)类型二：几何体的结构特征【典例2】如图，长方体ABCD-ABCD中被截去一部分，其中EHAD，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？并说出它们的名称.【解题指南】根据棱柱的结构特征判断该几何体是否为棱柱，再由棱柱的分类标准确定该棱柱的名称.【解析】剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；截面EFGH下方部分是五棱柱ABFEA-DCGHD，其中五边形ABFEA和五边形DCGHD是底面.截面上方部分是三棱柱EFB-HGC，其中EFB，HGC为底面.【延伸探究】1.(变换条件)若本例中，截面如图所示为BCHE，则结论如何？【解析】剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱，截
12、面下方部分是四棱柱ABEA-DCHD，其中四边形ABEA和四边形DCHD是底面.截面上方部分是三棱柱BBE-CCH，其中BBE，CCH为底面.2.(变换条件)若本例中条件“EHAD”去掉，改为“使E与A重合，F与B重合”，则结论又如何？【解析】剩下的几何体不是简单的几何体，截去的几何体是棱台.截去的几何体是三棱台HGC-ABB，其中HGC，ABB为棱台的底面.【规律总结】1.判断一个几何体是否为棱柱的三个关键 关键1：有两个面互相平行；关键2：其余各面都是四边形；关键3：每相邻两个四边形的公共边都互相平行.2.判断一个几何体是否为棱台的三个关键(1)两底面相互平行且相似.(2)各侧棱延长后交于
13、一点.(3)侧面是梯形.【补偿训练】如图所示，在三棱台ABC-ABC中，截去三棱锥A-ABC，则剩余部分是()A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台【解析】选B.剩余部分是四棱锥A-BBCC.类型三：多面体的展开图【典例3】(1)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是()A.南 B.北 C.西 D.下(2)在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_.【解题指南】(1)将正方体的平面展开图还原为正方体后判断.(2)将每个图形沿折线还原，判断其
14、能否构成四面体.【解析】(1)选B.正方体展开图还原为正方体，如图所示，故标的方位为北.(2)经过折叠中的图形组不成四面体，只有的可以组成四面体.答案：【规律总结】1.解决多面体的展开与折叠问题的技巧(1)解决与多面体表面展开图有关的问题，要结合多面体的结构特征，可以先给多面体的顶点标上字母，再画底面，然后依次画出各侧面，即可得到多面体的展开图.(2)对于平面图形的折叠，要根据展开图的特点，分析折叠后哪些边或点重合是关键.2.解决多面体面上两点间最短距离问题的方法 空间中，求分别在几何体两个表面上的两点间的最短距离问题，其解决方法一般是展开一个表面，把问题转化为平面内两点距离最短问题来解决.【
15、巩固训练】(2016济宁高一检测)如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=4，AVB=AVC=BVC=30，过点A作截面AEF，求AEF周长的最小值.【解题指南】把三棱锥的侧面展开成平面图形，当AEF的各边在同一直线上时，其周长最小.【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求AEF周长的最小值.因为AVB=AVC=BVC=30，所以AVA1=90.又VA=VA1=4，所以AA1=4 .所以AEF周长的最小值为4 .22【补偿训练】某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()【解析】选A.因为对面图案相同，故展开图中任意两个相同的图案都不可能相邻，因此只有A正确.