1、数学 第6节 空间向量及其运算 数学 最新考纲 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.2.会简单应用空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.数学 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标怎么记?在y轴上的点的坐标怎么记?在z轴上的点的坐标怎么记?提示:可记作(x,0,0).可记作(0,y,0).可记
2、作(0,0,z).2.空间中任意两个非零向量a,b共面吗?提示:共面.数学 知识梳理 1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系 以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做 ,x轴、y轴、z轴叫做 ,通过每两个坐标轴的平面叫做 .(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的 ,y叫做点M的 ,z叫
3、做点M的 .坐标原点 坐标轴 坐标平面 z轴 横坐标 纵坐标 竖坐标 数学 2.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式 设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=222121212()()()xxyyzz.点 P(x,y,z)与坐标原点 O 之间的距离为|OP|=222xyz.(2)中点公式 设点 P(x,y,z)为线段 P1P2的中点,其中 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则有121212,2,2.2xxxyyyzzz 数学 3.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有 的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的 .单位向量 模为
4、 的向量 零向量 长度为 的向量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 方向 且模 的向量 共线向量(或平行 向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 .共面向量 平行于同一个 的向量叫做共面向量 大小和方向 长度或模 1 0 相同 相等 相反 相等 互相平行 或重合 ab 平面 数学 4.空间向量的有关定理及推论 内容 对于空间任意两个向量 a,b(b0),ab 的充要条件是存在实数,使 共线 向量 如图所示,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的 直线,对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 存在实数 t,
5、使 OP=OA+ta 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量,在 l 上取 AB=a,则 式可化为 OP=OA+t AB 或 OP=(1-t)OA+t OB a=b 数学 如果两个向量 a,b ,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使 共面 向量 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 AP=x AB+y AC 或对空间任意一点 O,有OP=OA+x AB+y AC 空间 向量 基本 定理 如果三个向量 a,b,c ,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组x,y,z,使得 .我们把a,b,c叫做空间的一个 ,a,b,
6、c 都叫做 .p=xa+yb 不共面 p=xa+yb+zc 基底 基向量 不共线 数学 5.空间向量的数量积与坐标运算(1)数量积及相关概念 两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作 OA=a,OB=b,则 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作,其范围是 .若=2,则称向量 a 与 b 互相垂直,记作 .若=0,则称向量a 与 b 同向共线,若=,则称向量 a 与 b 反向共线.两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积,记作 ,即 .AOB 0,ab|a|b|cos ab ab=|a|b|cos 数学 cos=|a ba b.(2)两个向量数量积的
7、性质和结论 已知两个非零向量a和b.ae=|a|cos(其中e为单位向量).ab .a2=,|a|=2a.|ab|a|b|.(3)空间向量数量积的运算律 数乘结合律:(a)b=.交换律:ab=.分配律:a(b+c)=.ab=0 aa|a|2 (ab)ba ab+ac 数学(4)向量坐标的定义 设 i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果 OP=xi+yj+zk,则 叫做向量 OP 的坐标.夹角公式:cos=12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz.(5)空间向量运算的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 加、减运算:ab=.数量
8、积:ab=.模长公式:|a|=a a=222111xyz.数乘运算:a=(R).平行的充要条件:ab .垂直的充要条件:ab .(x,y,z)(x1x2,y1y2,z1z2)x1x2+y1y2+z1z2(x1,y1,z1)x1=x2,y1=y2,z1=z2(R)x1x2+y1y2+z1z2=0 数学【重要结论】1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P,A,B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线:(1)PA=PB (R);(2)对空间任一点 O,OP=OA+t AB (tR);(3)对空间任一点 O,OP=x OA+y OB (x+y=1).2.证明空间四点共面的方法 对空间四点 P,M
9、,A,B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP=x MA+y MB;(2)对空间任一点 O,OP=OM+x MA+y MB;(3)对空间任一点 O,OP=x OM+y OA+z OB (x+y+z=1);(4)PM AB (或 PA MB 或 PB AM).数学 夯基自测 解析:中四点恰好围成一封闭图形,正确;中当a,b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|,所以不正确;中a,b所在直线可能重合,所以不正确;中需满足x+y+z=1,才有P,A,B,C四点共面,不正确.故选C.1.下列命题:若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有 AB+BC+CD+DA=0;|a|-|b|=|a+b|
10、是 a,b 共线的充要条件;若 a,b 共线,则 a 与 b 所在直线平行;对空间任意一点 O 与不共线的三点 A,B,C,若 OP=x OA+y OB+z OC (其中 x,y,zR),则 P,A,B,C 四点共面.其中不正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4 C 数学 解析:关于y轴对称,横、竖坐标变为原来的相反数,纵坐标不变.2.P（-12,0,3）关于 y 轴的对称点为()(A)（12,0,-3）(B)（-12,0,-3）(C)（12,0,3）(D)（-12,0,3）A 数学 3.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的
11、距离|CM|等于()(A)534(B)532(C)532(D)132 C 解析:由题意知点 M 的坐标为（2,32,3）,所以 CM=（2,12,3）.所以|CM|=22212()32=532.数学 4.已知a=(cos ,1,sin ),b=(sin ,1,cos ),则向量a+b与a-b的夹角是 .解析:因为(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+1+sin2)-(sin2+1+cos2)=0,所以(a+b)(a-b),即向量a+b与a-b的夹角为90.答案:90 数学 5.在四面体 O ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD
12、 的中点,则 OE=(用 a,b,c 表示).解析:如图,OE=12OA+12OD =12OA+14OB+14OC=12a+14b+14c.答案:12a+14b+14c 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 空间直角坐标系【例1】(1)在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M,则M在xOz上的投影M的坐标是 ;(2)已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),则|AB|的最小值是 .解析:(1)M(-2,-1,3),该点在xOz上的投影M(-2,0,3).(2)根据空间两点间距离公式得|AB|=222(21)(7)(25)aa =25(1)54a
13、36.所以,当 a=-1 时,|AB|取最小值 36.答案:(1)(-2,0,3)(2)36 数学 反思归纳 (1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标 点、线、面 对称点坐标 原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy(x,y,-z)坐标平面yOz(-x,y,z)坐标平面zOx(x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用 求两点间的距离或线段的长度;已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;根据已知条件探求满足条件的点的存在性.数学【即时训练】(1)点 M(-8,6,1)关于 x 轴对称的点的坐标是 ;(2)已知点 A(1,
14、-2,1),B(2,2,2),点 P 在 x 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为 .(2)设 P(x,0,0),因为|PA|=|PB|,所以222(1)(02)(01)x=222(2)(02)(02)x,解得 x=3,所以点 P 的坐标为(3,0,0).解析:(1)横坐标不变其余变为原来的相反数,故为(-8,-6,-1).答案:(1)(-8,-6,-1)(2)(3,0,0)数学 考点二 空间向量的线性运算【例 2】如图所示,在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,设1AA=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量
15、:(1)AP;解:(1)因为 P 是 C1D1的中点,所以 AP=1AA+11AD+1D P=a+AD+1112 D C =a+c+12 AB=a+c+12b.数学(2)1A N;解:(2)因为 N 是 BC 的中点,所以1A N=1A A+AB+BN=-a+b+12BC =-a+b+12AD =-a+b+12c.数学(3)MP+1NC.解:(3)因为 M 是 AA1的中点,所以 MP=MA+AP=121A A+AP =-12a+（a+c+12b）=12a+12b+c,又1NC=NC+1CC=12BC+1AA=12AD+1AA=12c+a,所以 MP+1NC=(12a+12b+c)+(a+12
16、c)=32a+12b+32c.数学 反思归纳 (1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.(2)向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒:空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.数学【即时训练】(2015 长春模拟)如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别为 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN
17、上,且 MG=2GN,若OG=x OA+y OB+z OC,则 x,y,z 的值分别为 .解析:因为 OG=OM+MG,OM=12OA,MG=23MN,MN=ON-OM=12(OB+OC)-12OA,所以 OG=12OA+23 12(OB+OC)-12OA =16OA+13OB+13OC.答案:16,13,13 数学 空间向量的数量积的应用 考点三 【例 3】(2015 张家界模拟)如图所示,在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 60.(1)求 AC1的长;(1)解:设 AB=a,AD=b,1AA=c,因为两两夹角为 60,且模均为 1
18、,1AC=AC+1CC=AB+AD+1AA=a+b+c,所以|1AC|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2bc+2ca=3+211 12+211 12+211 12=6,所以|1AC|=6,即 AC1的长为6.数学(2)求证:AC1BD;(2)证明:BD=AD-AB=b-a,所以1AC BD =(a+b+c)(b-a)=ab-a2+b2-ba+cb-ca=11 12-1+1-11 12+11 12-11 12=0,所以1AC BD,即 AC1BD.数学(3)求BD1与AC夹角的余弦值.(3)解:1BD=BD+1DD=AD-AB+1AA=b-a+c,所以1BD AC=(
19、b-a+c)(a+b)=ab+b2-a2-ab+ca+bc=12+12=1|1BD|=2()bac=2,|AC|=2()ab=3,所以 cos=11|BDACBDAC=123=66,所以 BD1与 AC 的夹角的余弦值为66.数学 反思归纳 (1)求空间向量数量积的方法 定义法.设向量a,b的夹角为,则ab=|a|b|cos;坐标法.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则ab=x1x2+y1y2+z1z2.(2)数量积的应用 求夹角.设非零向量 a,b 的夹角为,则 cos=|a ba b,进而可求两异面直线所成的角;求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算
20、问题转化为向量数量积的计算问题;解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.数学 备选例题 【例1】已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为 .解析:由题意知 ab,所以1x=222xy=3y,即23,22,yxxyx 把代入得 x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,解得 x=-2 或 x=1.当 x=-2 时,y=-6;当 x=1 时,y=3.当2,6xy 时,b=(-2,-4,-6)=-2a,两向量 a,b 反向,不符合题意,所以舍去.当1,3xy时,b=(1,2,3)=a,a 与 b 同向
21、,所以1,3.xy 答案:1,3 数学 解:(1)因为 ab,所以2x=4y=11,解得 x=2,y=-4.此时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为 bc,所以 bc=0,即-6+8-z=0,解得 z=2,于是 c=(3,-2,2).【例 2】(2015 合肥模拟)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc.求:(1)a,b,c;(2)a+c 与 b+c 所成角的余弦值.(2)由(1)可得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设向量 a+c 与 b+c 所成的角为,则 cos=51233838=-219.数学【例 3】如图
22、,已知平行六面体 ABCD ABCD,E,F,G,H 分别是棱 AD,DC,CC 和 AB 的中点,求证 E,F,G,H 四点共面.证明:取 ED=a,EF=b,EH=c,则 HG=HB+BC+CG=D F+2 ED+12 AA =b-a+2a+12(AH+HE+EA)=b+a+12(b-a-c-a)=32b-12c,所以 HG 与 b,c 共面.即 E,F,G,H 四点共面.数学 易混易错辨析 用心练就一双慧眼 空间向量的基本运算【典例】(2015 中山模拟)如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中,M 是 CD1的中点,点 Q 在 CA1上,且 CQQA1=41
23、,设 AB=a,AD=b,1AA=c,用基底a,b,c表示向量 MQ=.数学 解析:如图,连接 AC,AD1,AM=12(AC+1AD)=12(AB+AD+AD+1AA)=12(a+2b+c),又 AQ=AC+CQ=AC+451CA=AB+AD+45(1AA-AC)=AB+AD+451AA-45AB-45AD=15AB+15AD+451AA =15a+15b+45c.MQ=AQ-AM=15a+15b+45c-12a-b-12c=-310a-45b+310c.答案:-310a-45b+310c 数学 易错提醒:(1)在解题过程中很容易把CQ=451CA 写成 CQ=341CA,把1CA误认为 AC-1AA,把 MQ 误认为 AM-AQ 等而出现错误.(2)在空间向量的基本运算中,一定要准确利用平行四边形法则和三角形法则,而且一定要准确利用所给的比例,否则很容易出现错误.数学 点击进入课时训练数学