1、第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理A级基础巩固一、选择题1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2解析：B中，因为6e18e22(3e14e2)，所以(6e18e2)(3e14e2)，所以3e14e2和6e18e2不能作为基底答案：B2已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线 B共线C相等 D不确定解析：因为ab3e1e2，所以c2(ab)所以ab与c共线答案：B
2、3已知AD是ABC的BC边上的中线，若a，b，则()A.(ab) B(ab)C(ab) D.(ab)解析：如图所示，因为2，所以(ab)答案：D4已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则()A. B.C D解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使t，则t()，即t()(1t)t，所以解之得.答案：C5若a，b，(1)，则()Aa b B a(1)bC ab D. a b解析：因为()，所以(1)，所以ab.答案：D二、填空题6已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(
3、2x3y)b6a3b，所以解得所以xy3.答案：37如果3e14e2a，2e13e2b，其中a，b为已知向量，则e1_，e2_解析：由解得答案：3a4b3b2a8已知e1、e2不共线，ae12e2，b2e1 e2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由ak b即得4.答案：(，4)(4，)三、解答题9.如图所示，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)求的值解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则.在直角OCD中，因为|2，C
4、OD30，OCD90，所以|4，|2，故4，2，即4，2，所以6.10.如图所示，在OAB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于点P，用向量a，b表示.解：因为，设m，n，则mam(1m)amb.nbn(1n)bn a.因为a，b不共线，所以n，m.所以ab.B级能力提升1如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是()A若实数1，2使1e12e20，则120B对空间任意向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任意向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析：B错，这样的a只能与e1，e2在
5、同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面内任意向量都可表示为1e12e2的形式，故1e12e2一定在平面内；D错，这样的1，2是唯一的，而不是有无数对答案：A2如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_解析：设a，b，则()ab，又()(1)ab.根据平面向量基本定理得消去得mn2.答案：23如图所示，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若x，y.试问：是否为定值？解：设a，b，则x a，y b，()(ab)所以(ab)x aab，y bx ax ay b.因为与共线，所以存在实数，使.所以ab(x ay b)x ay b.因为a与b不共线，所以消去，得4，所以为定值
