1、高考资源网（） 您身边的高考专家第十章 排列、组合和和概率二、二项式定理学习指导：1有关二项式定理，要记住公式，弄清与其相关的概念：二项式系数、系数、项、项数、通项等，从而正确运用二项式系数的性质进行计算，解一些应用题。重点是二项式定理的应用、难点是对通项的理解。2二项式定理：。右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示。3二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。（2）增减性与最大值当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间的两项的
2、二项式系数相等，且同时取得最大值。（3）的展开式的各个二项式系数的和等于，即（4）的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即。例题选讲例1求展开式中的常数项。解：展开式的通项为。令得展开式的常数项为。注：若把上题改为“求展开式中的有理项”，由知为6的倍数，又；展开式中的有理项为，。例2在的展开式中，所有奇数项之和等于1024，试求它的中间项。解：展开式中所有奇数项系数之和等于所有偶数项系数之和，即，展开式共有12项，其中第6、7项为中间项。 例3已知的展开式中项的系数与的展开式中项的系数相等，求的值。解：的展开式中的通项为，即项的系数为。的展开式中的通项为，即项的系数为。
3、由，即，解之得中，舍去。 。例4在的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。解：因为前三项系数分别为1、，它们成等差数列，所以。即解之得或。 当时，的展开式中不含有理项，所以不合，应舍去。当时，的展开式的通项为，应是4的倍数，必须是4的倍数，又，。展开式中各有理项为，。注：求二项展开式中有关的系数、常数项、有理项等特殊项的问题，可紧紧抓住二项展开项的通项，通过对通项的分析，去找到原问题的解。例5求中的系数。解法一，原式原题即转化为求的展开式中的的系数， 的系数为286。解法二：项只存在于后四个项中，且都是四个展开式的第10项。系数之和为解法三：原式中的系数与式中的的系数相同，后者所
4、以展开式中的的系数为例6求展开式中的系数。解：因为的展开式通项为，其中时，系数为。的展开式通项为，其中时系数为。的展开式通项为，其中时系数为。所以展开式中的系数为。例7求展开式中的系数。解：原式 第三项起没有的项。所以的系数为。注：求的展开式中的系数。原式 只有第3项有，其系数为或者由原式从四个因式中任取2个a，其余再从余下的两个式子中任取1个b，最后一个因式中取1个c。得的系数为。一般地，展开式中的系数可表示为例8求的展开式中的系数。解法一、原式，其通项为，又的通项 令，可得或当时，的系数为； 当时，的系数为；所以符合条件的的系数为。解法二、原式，其通项为当时，的系数为； 当时，的系数为所以
5、展开式中的系数为。解法三、原式出现有两种情况，一种是三个因式均提供，另一种是一个提供，另两个中有一个提供，一个提供，因而的系数为。例9求展开式中的最大项。解：展开式中二项式系数最大的项是中间的项，但虽然的第26项的二项式系数最大，但因其，但却随的增大而增大，因此第26项不一定最大，但当时，的值显然大于1，所以只要讨论时，小于1。， 即展开式中的最大项为。例10数的未尾连续的零的个数是 个。解法一、因为 令 同为M的未位数是0，N的未位数是6。所以的未尾连续零的个数是3个。解法二、因为， 当时，末尾有四个以上的0，所以，m为正整数。所以的未尾有3个连续的零。例11在的展开式中，求：（1） 二项式
6、系数最大的项；（2） 系数绝对值最大的项；（3） 系数最大的项解：（1）二项式系数最大的项是 （2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，则 即 得，所以当时，系数绝对值最大的项为（3）因系数为正的项为奇数项，故可设第项系数最大，则得 即系数最大。例12设，求：（1）； （2）解：（1）令得 令得（2）令得令得由得 例13求除以100的余数解法一：观察各项，只有最后两项不能被100 又故知除以100的余数为81。解法二：显然仅最后一项不能被100整除，以下转化为求被100除的余数。此式中仅最后两项不能被100整除，而， 所求余数为81。例14证明：，证明：当时，当时，又注：证明还可以有如下的证法：
7、例15、当，求证：证明：因为其中所以巩固与练习一、 选择题1二项式展开式中的前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是（ ）A B C D2被4除所得的系数为（ ）A0 B1 C2 D33，展开式按a的降幂排列后第二项不大于第三项，则a的取值范围是（ ）A B C D4展开式中各项系数之和为（ ）A B C D二、填空题5设，则 ； ； 。6在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，则 。7被22除所得的余数为 。8已知展开式中的余数是56，则实数的值是 。三、解答题9求展开式中的系数。10已知，（1）若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中项式系数最大的项的系数；（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项。11设，若其展开式中关于x的一次项系数的和为11，试问m、n为何值时，含项的系数和最小，这个最小值是多少？12求展开式中含x一次幂的项。参考答案1D 2A 3D 4B5； 6718或910（1）当时，第五项系数为和第五项系数；当时，第8项系数为3432 （2）11当或时，取最小值为30。1245x- 10 - 版权所有高考资源网