1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十一等差数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016青岛模拟)在等差数列an中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()A.24B.48C.96D.无法确定【解析】选B.由等差数列的性质知,a2+a12=2a1+12d=2(a1+6d)=32,所以a1+6d=16.2a3+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=48.2.若等差数列an的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于()A.0B.12C.-1D.-
2、12【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得4a1+d=18a1+d,a1=-d,所以S22=22a1+d=22+22d=0.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选A.设Sn=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得B=-22A,所以S22=22(22A+B) =0.【加固训练】在等差数列an中,a9=a12+6,则数列an的前11项和S11=()A.24B.48C.66D.132【解析】选D.因a9=a12+6及等差数列通项公式得,2(a1+8d)=a1+11d+12,整理得a1+5d=12=a6,所以S11=1112=132.3.(2016淄博模拟)设等差数
3、列an的前n项和为Sn,若-ama10且Sm+10B.Sm0C.Sm0且Sm+10D.Sm0且Sm+10,a1+am+10,Sm+1= 0,a6+a90,即a70;而a6+a9=a7+a80,故a80,若a1+a2+a2015=2015am(mN*),则m=.【解析】因为数列an是等差数列,所以a1+a2+a2015=2015a1+d =2015(a1+1007d),am=a1+(m-1)d,根据题意得,2015(a1+1007d)=2015,解得m=1008.答案:1008三、解答题9.(10分)(2016威海模拟)已知Sn为正项数列an的前n项和,且满足Sn=+an(nN*).(1)求a1
4、, a2,a3,a4的值.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)由Sn=+an(nN*),可得a1=+a1,解得a1=1;S2=a1+a2=+a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)Sn=+an,当n2时,Sn-1=+an-1,-化简得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-10,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,故数列an是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.【加固训练】1.(2016滨州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n2且nN*).(1)求证:数列是等差数列.(2)求Sn和an.【解析】(1
5、)当n2时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.由上式知若Sn-10,则Sn0.因为S1=a10,由递推关系知Sn0(nN*),由式得-=2(n2).所以是等差数列,其中首项为=2,公差为2.(2)由(1)可得因为=+2(n-1)=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时,a1=S1=不适合上式,所以an=2.数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列.(2)求an的通项公式.【解析】(1)由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1
6、=an+1-an+2,即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得bn=1+(n-1)2=2n-1,即an+1-an=2n-1,于是(ak+1-ak)=(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1,又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.(20分钟40分)1.(5分)在等差数列中,已知a3+a8=6,则3a5+a7=()A.6B.12C.18D.24【解析】选B.由等差数列性质知3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)= 2(a3+a8)=12.2.(5分)(2016德州模拟
7、)已知正项数列an的前n项的乘积Tn=(nN*),bn=log2an,则数列的前n项和Sn中的最大的值是()A.S6B.S5C.S4D.S3【解析】选D.当n=1时,a1=T1=45,当n2时,an=,n=1也适合,所以数列an的通项公式an=,所以bn=log2an=14-4n,数列bn是以10为首项,-4为公差的等差数列,Sn=10n+=-2n2+12n=-2,当n=3时,有最大值S3.3.(5分)(2016济南模拟)设等差数列的前n项和为Sn,等差数列的前n项和为Tn,若=,则+=.【解析】+=+=.答案:4.(12分)(2016南宁模拟)已知a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根
8、,数列an是公差为正数的等差数列,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-bn(nN*).求数列an,bn的通项公式.【解析】因为x2-12x+27=(x-3)(x-9)=0,又数列an的公差d0,所以a2=3,a5=9,所以d=2,所以an=2n-1.因为Tn=1-bn(nN*),所以b1=.当n2时,bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,所以bn=bn-1,所以bn=.5.(13分)(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设anan+1
9、=Sn-1,得an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)由题设a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得:a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.【加固训练】(2016安庆模拟)已知数列an的通项公式an=pn2+qn(p,qR,且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列?(2)求证:对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数列.【解析】(1)an+1-an=-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0.故当p=0,qR时,数列an是等差数列.(2)因为an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.所以an+1-an是等差数列.关闭Word文档返回原板块