1、5.1平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括
2、号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)若ab，bc，则ac.()(4)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(6)ABC中，D是BC中点，则()()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()ABC. D解析：选A.如图，.2判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选A.中两
3、向量共线，但这两向量的方向、模均不一定相同，故不一定相等；中两向量的模相等，但方向不一定相同，故这两向量不一定相等；中两向量的模相等，但两向量不一定共线；中两向量相等，则模一定相等，故正确3(2015高考课标卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. BC. D解析：选A.3，3()，则43，.4(教材改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：baab5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由已知得abk(b3a)，解得答案：类型一平面向量的概念下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量
4、，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小答案(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把
5、它与函数图像的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量1给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；0a0；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析：正确；一方面，数乘向量的结果为向量，而不是实数；另一方面，实数与向量的数乘运算不能用符号“”，故不正确；当ab时|a|b|且ab，反之不成立，故错误；当a，b不同向时不成立，故错误答案：类型二平面向量的线性运算(1)如图，D，E，F 分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B0C.0 D0解析0，22
6、20，即0.答案A(2)(2017福建泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有()A. B2C.2 D2解析由题意得，即22.答案D(3)已知：任意四边形ABCD中，E，F 分别是AD，BC的中点，求证：()证明如图所示，E，F 分别是AD与BC的中点，0，0.又0，.同理.由得，2()()，()向量线性运算的方法技巧由于向量具有数形两方面的性质，在进行向量的线性运算时，一定要结合图形进行，即将向量转化到同一三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则求解2(1)在ABC中，c，b，若点D满足2，则()A.bc BcbC.bc Dbc解析：选A.2，2()，32，b
7、c.(2)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确式子的序号为_解析：由得，2，从而2，即0，故不正确；由得，即，故正确；由得，即，故正确综上可得正确答案：类型三共线定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是两个不共线的非零向量，kk10，k210
8、.k1.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线3(1)(2017四川资阳模拟)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线解析：选B.2a6b2(a3b)2，、共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B.(2)设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.解析：由题意知：abk(2ab)，则有k，.答
9、案：方程思想在平面向量线性运算中的应用(十)典例(12分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.思维点拨(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解设manb，则manba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，anbt1，消
10、去t1得，4mn1.由得m，n，ab.(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会思想方法感悟提高1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相
11、接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误课时规范训练(时间：35分钟)1设a是非零向量，是非零实数，
12、下列结论中正确的是()Aa与a的方向相反Ba与2a的方向相同C|a|a| D|a|a解析：选B.对于A，当0时，a与a的方向相同，当|B.与同向，且|D.解析：选A.2a3b(8a2b)(6a4b)12a3b，又8a2b，.0，与同向，且|.|.4设D，E，F 分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A.由题意得，因此()，故与反向平行5设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A3 B4C5 D6解析：选B.D为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点，又D为AB中
13、点，SAOCSADCSABC，则4.6在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3，得4121233(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab7设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：28在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析：2，.，()，().又xy，x，y.答案：9.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解：()ab.()()ab.10已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(
14、1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.(时间：15分钟)11设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为()A. BC1 D2解析：选A.D是AC的中点，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，()0，()3，故选A.12已知O是三角形ABC的重心(三条中线的交点)，动点P满足，则点P一定为三角形ABC
15、的()AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)C重心DAB边的中点解析：选B.取AB的中点D，则，故(2)，故点P为中线CD的三等分点(非重心)13设G为ABC的重心，且sin Asin Bsin C0，则B的大小为()A45 B60C30 D15解析：选B.G是ABC的重心，0，()，将其代入sin Asin Bsin C0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共线，sin Bsin A0，sin Csin A0，则sin Bsin Asin C根据正弦定理知bac，ABC是等边三角形，则角B60.故选B.14已知D，E，F 分别为ABC的边BC，CA，AB
16、的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab，ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；baabba0，故正确正确命题为.答案：315.如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_解析：设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，得nbmaab，从而消去得3.答案：35.2平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e
17、1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共线x1y2x2y10.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2
18、a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()答案：(1)(2)(3)(4)(5)1设e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对答案：A2(2017河北衡水冀州中学第四次月考)在ABC中，点D在BC
19、边上，且2，rs，则rs等于()A.BC3 D0解析：选D.因为2，所以()，则rs0，故选D.3(2016高考全国甲卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6C6 D8解析：选D.(方法1)因为a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2)因为(ab)b，所以(ab)b0，所以122(m2)0，解得m8.(方法2)因为(ab)b，所以(ab)b0，即abb232m32(2)2162m0，解得m8.4(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_解析：设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得答案：(1,
20、5)5设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析：()，所以1，2，即12.答案：类型一平面向量基本定理的应用(1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则等于()A.BC. D解析因为()22，所以，所以.答案D(2)(2017山东济南调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题
21、的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1(2017重庆模拟)(1)在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_.(用e1，e2表示)解析：如图，2()e2(e2e1)e1e2.答案：e1e2(2)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.解析：()ab.答案：ab类型二平面向量的坐标运算(1)(2017甘肃兰州调研)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.解析因为ab，所以sin 2cos2，即2sin cos cos2.因为00，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析：由题意得(a
22、2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)(当且仅当ba时，等号成立)答案：解析法(坐标法)在向量中的应用(十一)典例(12分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B的坐标，用三角函数表示出点C的坐标，最后转化为三角函数求最值 以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin
23、2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出xy的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础思想方法感悟提高1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若a(
24、x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.课时规范训练(时间：35分钟)1已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12)B(23,12)C(7,0) D(7,0)解析：选A.由题意可得3a2bc(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)2. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F .若a，b，则()A.ab BabC.ab Dab解析：选B.由已知得DEEB，又DEF BEA，DF AB，即DF DC，CF
25、 CD，()ba，abaab.3已知向量a，b不共线，且a4b，a9b，3ab，则一定共线的是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A.a9b3ab2a8b.a4b，A，B，D三点共线4如图，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.ab BabC.ab Dab解析：选C.如图，连接BP，则b，a，得2ab，又()，将代入，得2ab，解得ab.5已知|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为()A2 BC3 D4解析：选C.0，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，(1,0)，(0，)，mn(
26、m，n)tan 30，m3n，即3，故选C.6已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c与向量kab共线，则实数k_.解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因为向量c与向量kab共线，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1.答案：17已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k18. 如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中
27、点若，则_.解析：因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因为点M为AH的中点，所以()，又，所以，所以.答案：9平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.10. 如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线 (1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值解：(1)()(1).(2)证明：一方面，由(1)得
28、(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().而，不共线，由，得解得3(定值)(时间：15分钟)11在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数，使得(1)成立，此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”若已知P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a(1,1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为()A3 B3C1 D1解析：选D.由与向量a(1,1)垂直，可设(t，t)(t0)，由(1)得(t，t)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，两式相加得220，1.12Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Q
29、b|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：(13，23)13已知ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m_.解析：0，M为ABC的重心如图所示，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点.又()，()，即3，m3.答案：314. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_解析：由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D三点共线，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，从而mn(1,0
30、)答案：(1,0)15. 将等腰直角三角板ADC与一个角为30的直角三角板ABC拼在一起组成如图所示的平面四边形ABCD，其中DAC45，B30.若xy，则xy的值是_解析：如图所示，建立平面直角坐标系取DA1，则DC1，AC，AB2，BC.xBDAABcos 7512，yBABsin 751.B(，1)(1)，x，y1，xy3. 答案：35.3平面向量的数量积1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab投影|a|cos 叫作向量a在
31、b方向上的射影，|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.规定：零向量与任一向量垂直4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)
32、，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形()(4)两个向量的夹角的范围是.()(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca
33、(bc)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2016高考全国丙卷)已知向量，则ABC()A30B45C60 D120解析：选A.根据向量的夹角公式求解，|1，|1，cosABCcos，.0，180，ABC，30.2(2015高考山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 Da2解析：选D. 如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.3(2016高考北京卷)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_解析：设a与b夹角为，则cos ，又
34、，故.答案：4(2016高考山东卷)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，则实数t的值为_解析：tab(t6，t4)，a(tab)，1(t6)1(t4)0，t5.答案：55(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的射影为_解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos 4cos 1202.答案：2类型一平面向量数量积的运算(1)(2015高考天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F 分别在线段BC和DC上，且，则的值为_解析先取基底并表示向量，再利用数量积的概念运算取，为一组基底，则，|2|24
35、21.答案(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析(方法一)以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.(方法二) 由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的射影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的射影最大即为DC1，()max|11.答案11(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决
36、涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补1(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则_.解析：由3，得，.因为2，所以2，即222.又因为225，264，所以22.答案：22(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：由题意知：()()224022.答案：2类型二用数量积求向量的模、夹角题点1求向量的模(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|ab|等于()A1BC. D2解析因为向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，所以|ab|.答案C(
37、2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.答案1题点2求向量的夹角(1)(2015高考重庆卷)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. BC. D解析由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b
38、|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.答案A(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_解析2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解2(1)已知向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在ABC中，mn，m3n，D为BC边的中点，则
39、|()A1 B2C3 D4解析：选A.由题意知()mn，2(mn)2m2n22m n3422cos 1.|1.(2)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是()A. B2C. D6解析：选C.1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.类型三平面向量与三角函数的综合(2017山东烟台模拟)已知函数f (x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数yf (x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f (A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值解(1)f
40、(x)ab2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f (x)的单调递减区间为(kZ)(2)f (A)12cos1，cos1.又2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，所以2sin B3sin C由正弦定理得2b3c，由，可得b3，c2.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或
41、者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等3(2017江西新余三校联考)已知a(cos x,2cos x)，b(2cos x，sin x)，f (x)ab.(1)把f (x)图像向右平移个单位长度得到g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间；(2)当a0，a与b共线时，求f (x)的值解：(1)f (x)ab2cos2x2sin xcos xsin 2xcos 2x1sin1.g(x)sin1sin1.由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ，g(x)的单调递增区间为，kZ.(2)a0，a与b共线，cos x0，sin xcos x4cos2x0，t
42、an x4.f (x)2cos2x2sin xcos x.向量夹角范围不清致误(六)典例(12分)若两向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2所成的角为60，若向量2te17e2与向量e1te2所成的角为钝角，求实数t的取值范围两个向量所成角的范围是，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角为钝角，导致所求的结果范围扩大设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为，由为钝角，知cos 0，故(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t70，解得7t.再设向量2te17e2与向量e1te2反向，则2te17e2k(e1te2)(k0)，从而且k0，解得
43、即当t时，两向量所成的角为.所以t的取值范围是.(1)两个非零向量的夹角范围为，解题时要注意挖掘题中隐含条件(2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时，应该注意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的情况若ab0，则a，b.思想方法感悟提高1计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能
44、约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立课时规范训练(时间：40分钟)1已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角为()A.BC. D解析：选B.a(ba)aba22，所以ab3，所以cosa，b，所以a，b.2已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为()A B3C. D3解析：选C.因为点C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos，.3如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60，点M在AB边上，且AMAB，则等于()A BC1 D1解
45、析：选D.因为，所以()|2|21|cos 60121.4已知非零向量a，b，且BCOA，C为垂足，若a(0)，则等于()A. BC. D解析：选B.由于a，根据向量投影的定义，得|就是向量在向量方向上的投影，即.5已知a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B2C1 D1解析：选D.(ac)(bc)abaccbc20(ab)c11(ab)c1|ab|c|cosab，c11cosab，c，最小值为1，即ab与c同向共线时取得最小值6在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则()的值为_解析：由题意得，AP2，PM1，所以()2221cos 18
46、04.答案：47如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.解析：因为，60，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，所以2(139)，所以|.答案：8在ABC中，若，则点O是ABC的_(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)解析：，()0，0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理0，0，故O是ABC的垂心答案：垂心9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2
47、761，ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的射影解：(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，故向量在方向上的射影为|cos Bccos
48、B1.(时间：25分钟)11已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7C8 D9解析：选B.由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，所以AC为圆直径，故2(4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x，(x2，y)，所以(x6，y)故|，所以x1时有最大值7，故选B.12若a，b，c均为单位向量，且ab0，则|abc|的最小值为()A.1 B1C.1 D解析：选A.ab0，且|a|b|c|1，所以|ab|，又(ab)c|ab|c|cosab，ccos(ab)，c，|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32(ab)c32cos(a
49、b)，c，所以当cos(ab)，c1时，|abc|32(1)2，所以|abc|的最小值为1.13. 如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F 在CD上，若，则的值是()A. B2C0 D1解析：选A.依题意得()()22120，故选A.14设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图像上运动，Q是函数yf (x)图像上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf (x)的值域是_解析：设Q(c，d)，由新的运算可得mn，由消去x得dsin，所以yf (x)sin，易知yf (x)的值
50、域是.答案：15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值解：(1)由题意得(ac)cos Bbcos C.根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为.5.4平面向
51、量应用举例1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们
52、的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s的数量积，即WF s|F |s|cos (为F 与s的夹角)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)向量b在向量a方向上的射影是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，若0，|tab|.故|tab|的最小值为.4平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_解析：由题意得，又，0，即0，化简得y28x(x0)答案：y28x(x0)5(2017陕西渭南模
53、拟)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为_解析：由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，所以3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.答案：类型一向量在平面几何中的应用已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心 D垂心解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心答案C在本例中，若动点P满足，(0，)，则点
54、P的轨迹一定通过ABC的_解析：由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心答案：内心解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系1(1)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B梯形C正方形 D菱形解析：选D.0平面四边形ABCD是平行四边形，()0，所以平行四边形ABCD是菱形(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F 分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF .若1，则的值为_解析：如图，由题意可得|cos 12022
55、2，在菱形ABCD中，易知，所以， 21，解得2.答案：2类型二向量在解析几何中的应用(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_解析(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k21，故两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则的最小值是，HCCM1514，HE2，sinCHE，cosEHF cos(2CHE)12sin2CHE，|cosEHF 226，故选B.类型三向量的综合应用(1)已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的
56、值是()A1BC. D解析因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图像可知，当目标函数z2xy过点C(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F (a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a，故选D.答案D(2)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m(cos A，sin A)，n(2cos A，2cos A)，mn1.若a2，c2，求ABC的面积；求的值解因为mn2cos2Asin 2Acos 2Asin 2A12cos11，所以cos1.又2A0)，函数f (x)mn的两条相邻对称轴间的
57、距离为.(1)求函数f (x)的单调递增区间；(2)当x时，求f (x)的值域解：(1)f (x)mn4sincos x2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin.因为T，所以1.所以f (x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f (x)的单调递增区间是(kZ)(2)因为x，所以2x.所以sin所以f (x)，即f (x)的值域是10已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f (x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求f (x)4cos的取
58、值范围解：(1)因为ab，所以cos xsin x0，所以tan x.cos2xsin 2x.(2)f (x)2(ab)bsin.由正弦定理，得sin A，所以A，或A.因为ba，所以A.f (x)4cossin，因为x，所以2x，1f (x)4cos.所以所求范围是.(时间：25分钟)11在ABC中，已知|，AB2，AC1，E，F 为边BC的三等分点，则()A. BC. D解析：选B.因为|，所以222222，即有0，因为E，F 为边BC的三等分点，则()()22(14)0，故选B.12已知|a|2|b|0，且关于x的函数f (x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是
59、()A. BC. D解析：选C.设a与b的夹角为.f (x)x3|a|x2abx.f (x)x2|a|xab.函数f (x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又，故选C.13已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于_解析：，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系不妨设B，C(t,0)，则(4,1)，故点P的坐标为(4,1).(t4，1)4t171721713.当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13.答案：1314若平面向量，满足|1，|1，且以向量，
60、为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_解析：如图，向量与在单位圆O内，由于|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为两边的三角形的面积为，故的终点在如图所示的线段AB上，因此夹角的取值范围为.答案：15已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF 为圆N：x2(y1)21的任意一条直径，求的最值解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由0，得|2|20，即(2x)2(y)2(8x)20，化简得1.动点P在椭圆上，其轨迹方程为1.(2)，且0.22(x)2(1y)2116(y1)
61、21y22y16(y3)219.2y2.当y3时，的最大值为19，当y2时，的最小值为124.综上：的最大值为19； 的最小值为124.规范解答指导课(二)高考中三角函数与平面向量的综合问题(2015高考浙江卷)(14分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值【信息破译】(1)A，b2a2c2，利用余弦定理转化变形，求tan C的值，利用正弦定理化边为角，消元转化(2)看到ABC面积，三角形面积公式【标准答案】(1)由A，及余弦定理，得a2b2c22bccos ，即a2b2c2bc，因为b2a2c2，
62、所以c2bcc2，即3c2b.3分由正弦定理，得3sin C2sin B，由A得BC，即BC，所以3sin C2sin2分2，即sin C2cos C，故tan C2.2分(2)由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C.2分因为sin Bsin(AC)sinsin cos Ccos sin C.由(1)得c，2分因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3.3分【评分细则】第(1)问踩点说明(针对得分点)：得分点有两处：一是正确运用余弦定理可得1分，二是根据已知条件化简得2分；得分点有两处：一是运用正弦定理化边为角得1分，二是消B得1分；正确运用两角差的正弦公式化简，化弦为切得2分
63、第(2)问踩点说明(针对得分点)：sin C，cos C的值每求出1个得1分；得分点有两处：一是运用两角和的正弦公式可得1分，二是正确得出b和c的关系再得1分；得分点有三处：一是写出面积公式得1分，二是得出关于bc的方程得1分，三是准确计算出b的值再得1分【满分指导】1写全解题步骤，步步为“赢”解题时，要将解题过程转化为得分点，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据步骤评分，有则得分，无则不得分，如本题中应用公式进行化简、转化的步骤、求关于b，c的两个关系式的步骤等，如果不全，就会失分2准确熟练应用三角公式公式的熟记与灵活应用是得分关键，本题中应用公式较多，如正弦定理、两角和的正弦公式、
64、面积公式，能够正确应用并写出相应步骤即可得分(2017山东青岛模拟)已知A，B，其中x.(1)求|的表达式(2)若(O为坐标原点)，求tan x的值(3)若f (x)24|(R)，求函数f (x)的最小值解：(1)|.因为x，所以|2sin x.(2)因为cos cos xsin sin xcos 2x，所以cos 2x，12sin2x，sin2x，因为x，所以sin x.进而可得cos x，所以tan x.(3)f (x)24|4sin2x8sin x4(sin x)242，因为x，所以sin x当10时，f (x)的最小值为42，此时sin x；当0时，f (x)的最小值为0，此时sin
65、x0.课时规范训练(时间：60分钟)1在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值解：(1)由余弦定理及题设得cos B.又因为0B，所以B.(2)由(1)知AC.cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos A sin Acos.因为0A0，xR.若函数f (x)mn的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，若f (B)2，BC，sin Bsin A，求的值解：(1)f (x)mn2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x2sin.f (x)的最小正周期为，0，T.1.(2)设ABC中角A，B，
66、C所对的边分别是a，b，c.f (B)2，2sin2，即sin1，解得B(B(0，)BC，sin Bsin A，即a，ba，b3.由正弦定理，有，解得sin A.0A，A.C，ca.cacos Bcos .4已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f (x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值解：(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f (x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2s
67、in xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则函数f (x)关于t的关系式为yt2t12，1t.t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f (x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x0)则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，得sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.(2)因为b2c2a2bc，所以根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.