1、高考资源网（） 您身边的高考专家6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学 习 目 标核 心 素 养1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性(重点)2会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢(难点)1通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养2利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98P103有关内容，完成下列问题(1)三种函数的增长趋势当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快当a1时，对数函数ylogax是增函数，
2、并且当a越小时，其函数值的增长就越快当x0，n1时，幂函数yxn也是增函数，并且当x1时，n越大，其函数值的增长就越快思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？提示指数函数(2)三种函数的增长对比对数函数ylogax(a1)增长最慢，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有axxnlogax.思考2：在区间(0，)上，当a1，n0时，是否总有logaxxn1，n0，xx0时，logaxxnxlg xB2xlg xxCx2xlg xDxlg x2x答案A3如图所示曲线反映的是_函数模型的增长趋势答案幂4当x4时，a4x
3、，blog4x，cx4的大小关系是_答案acb指数、对数、幂函数增长趋势的比较【例1】函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)1x12,9x210.x18x22 016.从图像上知，当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，)上是增函数f(2 016)g(2 016)g(8)f(8)1指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较函数性质yax(a1)ylogax(a1) yxn(n0)在(0，)上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同
4、图像的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同2指数、幂、对数比较大小(1)常用方法单调性法、图像法，中间搭桥法、作差(商)法(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小1.函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点
5、为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)建立函数模型解决实际问题【例2】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？思路探究首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题解设第x天所得回报是y元由题意，方案一：y4
6、0(xN)；方案二：y10x(xN)；方案三：y0.42x1(xN)作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三通过计算器计算列出三种方案的累积收入表投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间
7、在不同范围的大小关系.2有一种树木栽植五年后可成材在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)解设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1a(120%)5(110%)5a(1.21.1)54a.乙方案在10年后树木产量为y22a(120%)52a1.254.98a.y1y24a4.98a0，b1)(1)根据题目中的数据，求f(x)，g(x)的解析式；(2)如果
8、1994年大气中CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由思路探究(1)列出方程组求系数，从而求解析式；(2)由x5得出函数值，通过比较选择模拟函数解(1)由题目中的数据得解得由解得所以f(x)x2x, g(x)3.(2)因为f(5)15，g(5)17.25，f(5)更接近16，所以选用f(x)x2x作为模拟函数好解决函数应用题时的常用方法：(1)先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.(2)将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.3某地西红柿从2月1日起开始上市通过市场调查，得
9、到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Qat2btc，即所以解得Qt2t.(2)Q(t150)2(t150)2100，所以当t150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1
10、)指数函数模型：表达式为f(x)abxc(a，b，c为常数，a0)，当b1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0b0)，当a1时，增长的特点是开始增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0a0)，其增长情况由a和的取值确定，常见的有二次函数模型1思考辨析(1)yx10比y1.1x的增长速度更快些()(2)对于任意的x0，都有2xlog2x.()(3)对于任意的x，都有2xx2.()答案(1)(2)(3)2三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6
11、456 633y25292452 18919 685177 149y356.16.616.957.207.40其中关于x呈对数型函数变化的变量是_，呈指数型函数变化的变量是_，呈幂函数型函数变化的变量是_y3y2y1由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化3某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为
12、_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_.，x28x17均单调，先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为，由f(1)10，f(3)2，得，解得p8，q17，所以，f(x)x28x17.4用模型f(x)axb来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y11(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y22(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y32(亿元)又定义：当f(x)使f(1)y12f(2)y22f(3)y32的数值最小时为最佳模型(1)当b时，求相应的a使f(x)axb成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值解(1)b时 ，f(1)y12f(2)y22f(3)y3214，a时，f(x)x为最佳模型(2)f(x)，则y4f(4).- 10 - 版权所有高考资源网