1、高考资源网（） 您身边的高考专家5简单的幂函数学 习 目 标核 心 素 养1了解幂函数的概念(重点)2结合函数yx，yx2，yx3，yx1，yx的图像，了解它们的变化情况(难点、易混点)3结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(重点)1通过幂函数的概念及幂函数的奇偶性的学习，提升数学抽象素养2结合幂函数的图像研究幂函数性质的过程，培养直观想像、逻辑推理素养.1幂函数阅读教材P49“例1”结束之间的内容，完成下列问题(1)幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数(2)简单的幂函数的图像和性质函数yx，yx2，yx3，yx，yx1在同一平面直角坐标系中的图像如
2、图所示：从图中可以观察得到：yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)单调性增函数在(，0 上是减函数；在(0，) 上是增函数增函数增函数在(，0)和(0，)上均为减函数定点函数图像均过点(1,1)思考1：当x0时，幂函数yx的单调性与指数又有何关系？提示当0时，幂函数yx在(0，)上单调递增；当0)By|x1|CyDyx3C令f(x)，则其定义域是R，又f(x)f(x)，则f(x)是偶函数2已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)_.0由f(x)是奇函数，得f(0)f(0)，2f(0)0，f(0)0.3已知y(m1)xm是幂函数，则m
3、_.2依题意，m11，解得m2.4设，则使函数yx的定义域为R，且为奇函数的所有的值为_1或3当1，时，yx定义域分别为(，0)(0，)，0，)不合题意；当1,3时，yx定义域均为R，且都是奇函数，符合题意，所以1或3.幂函数的概念【例1】已知函数f(x)(m2m1)x是幂函数，且是偶函数，求f(x)的解析式解依题意，有m2m11，解得m2或1.当m2时，f(x)x1，不是偶函数；当m1时，f(x)x2，是偶函数综上，得m1.1形如yx的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x.2求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值1(1)下列函数中
4、是幂函数的为_yx；y2x2；yx；yx2x；yx3.(2)若幂函数f(x)的图像经过点(2,2)，则f(9)_.(1)(2)27(1)根据幂函数的三个特点只有符合，不符合(2)设f(x)x，则22，所以，所以f(x)x.所以f(9)93327.幂函数的图像和性质【例2】(1)如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图像，已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，(2)已知点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，当x为何值时：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)2222，故相应于曲线C1，C2，
5、C3，C4的的值依次为2，2.故选B.(2)设f(x)x(是常数)，则()2，解得2，所以f(x)x2，定义域为R；同理，可得g(x)x1，定义域为(，0)(0，)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)x2与g(x)x1的图像(如图所示)，由图像可知：当x1时，f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当0x1时，f(x)g(x)解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图像确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函
6、数在第一象限内的图像(类似于yx1或yx或yx3)来判断.2(1)若幂函数y(m23m3)x的图像不过原点，且关于原点对称，则m的取值是()Am2Bm1Cm2或m1D3m1(2)已知幂函数y(m25m5)x2m1在(0，)上是递减的，则实数m()A1B1C6D1或6(1)A(2)B(1)由题意知即当m1时，yx4的图像关于y轴对称(舍去)；当m2时，yx3的图像关于原点对称，符合题意(2)由题意知所以m1.函数奇偶性的判断【例3】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(4)f(x)x2，x1,1)解(1)函数的定义域为(，0)(0，)又f(x)(x)f
7、(x)，所以，函数f(x)x是奇函数(2)函数的定义域为R.又f(x)(x)21x21f(x)，所以，函数f(x)x21是偶函数(3)因为f(1)(1)10，f(1)112，所以f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以f(x)x1既不是奇函数，也不是偶函数(4)由于函数f(x)的定义域不关于原点对称，所以，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.(2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶；,若定义域关于原点对称，看f(x)与f(x)的关系.(3)若f(x)f(x)，则函数是奇函数；若f(x)f(x)，则函数是偶函数；若f
8、(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数.3判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)0；(4)f(x)解(1)函数的定义域是R，又f(x)f(x)，所以，f(x)是偶函数(2)函数的定义域是(，0)(0，)，又f(x)f(x)，所以，f(x)是奇函数(3)函数的定义域是R，又f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数(4)f(x)即f(x)x|x|，其定义域是R，又f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以，f(x)是奇函数.函数奇偶性的应用探究问题1如图所示，给出了奇函数yf(x)在区间0,3上的图像，试画出其在3
9、,0)上的图像提示：根据奇函数的图像关于原点对称，可画出在区间3,0)上的图像如图2已知f(x)是偶函数，且当1x2时，f(x)1.试问：当2x1时，f(x)的解析式是什么？提示：当2x1时，1x2.又f(x)是偶函数，则f(x)f(x)11.3已知偶函数f(x)在区间a，b上单调递增，则它在区间b，a上的单调性如何？提示：单调递减，证明如下：任取x1，x2b，a，且x1x2，则ax2x1b.又f(x)在a，b上单调递增，则f(x2)f(x1)由f(x)是偶函数，知f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)所以，f(x2)0，求实数m的取值范围思路探究先利用函数的奇偶性将f(m)f(m1)0转
10、化为f(m1)f(m)的形式，再利用函数的单调性将其转化为m1与m的关系来求解解由f(m)f(m1)0，得f(m1)f(m)，又f(x)是奇函数，则f(m)f(m)所以，f(m1)f(m)因为f(x)在0,2上单调递减，且为奇函数，所以，f(x)在2,2上单调递减所以，解得1m.(变条件)将例题的条件变为“定义在区间2,2上的偶函数，在0,2上单调递增，若f(1m)f(1)”，求实数m的取值范围解由f(x)是偶函数，得f(1m)f(|1m|)所以，原不等式可化为f(|1m|)f(1)，又f(x)在0,2上单调递增，则解得0m2，所以，实数m的取值范围是0m0时，图像过(0,0)，(1,1)，在
11、第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，f(x)x2，则f(2)_.f(2)f(2).4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)；(4)f(x)ax3bx，其中a，b不全为零解(1)函数的定义域是(，0)(0，)又f(x)f(x)，所以，f(x)是奇函数(2)函数的定义域是R.又f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以，f(x)是偶函数(3)由x10，得x1，所以函数的定义域为(，1)(1，)所以，定义域不关于原点对称，所以，f(x)不具有奇偶性(4)函数的定义域是R，又f(x)a(x)3b(x)ax3bxf(x)，所以，f(x)是奇函数- 11 - 版权所有高考资源网