1、第五节 二项式定理 第五节 二项式定理 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1二项式定理(ab)n_(nN*)右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式，其中各项系数 Crn(r0,1，n)叫做展开式的二项式系数，第 r1 项 Tr 1_(其中0rn，rN，nN*)叫做二项展开式的通项公式CrnanrbrC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn二项展开式特点：(1)项数：共有_项；(2)(ab)n的展开式中各项均为a与b的n次齐次式，其中a的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n；(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系
2、数”等概念的区别2二项式系数的性质(1)对称性n1在首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式_得到(2)增减性Cknnk1kCk1n，当 k_时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的CmnCnmnn12(3)最大值当 n 为偶数时，中间一项(第_项)的二项式系数最大，最大值为_.当 n 为奇数时，中间两项(第n12 项和第_项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为_或_.n21Cn2nn121Cn12nCn+12 n(4)各项二项式系数的和 C0nC1nC2nCnn_.(5)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即：C0nC2nC1nC3
3、n_.2n2n1思考感悟二项式系数是正实数，可能是一个正整数，也可能是一个正分数，这种说法是否正确？提示：不正确，二项式系数是正整数，不可能是分数课前热身 1(x21)5的展开式中 x2的系数为_解析：含 x2 的项为 C35(x2)252x2，x2的系数为52.答案：522(2011年扬州质检)若(x1)na0a1xa2x2anxn(nN*)且a1a221，则在展开式各项系数中，最大值等于多少？解：arCrn(r0,1，n)，a1a2C1nC2nnnn1221.n6，CrnCr6，r0,1,2，6.其中函数最大值为 C3620.3若(ax21x)9 的展开式中常数项为 84.(1)求 a 的
4、值；(2)其展开式中二项式系数之和为多少？解：(1)二项式(ax21x)9 的通项公式为Ck9a9kx182k(1)kxk(1)kCk9a9kx183k，令 183k0 可得 k6，即得常数项为(1)6C69a9684a384，解之得a1.(2)其展开式二项式系数和为 29512.考点探究挑战高考 求展开式中特定的项考点突破 在解决二项展开式中指定项或特定项的问题时，关键是公式Tr 1Can rbr(0rn，rN，nN*)的正确应用 例1已知在(3 x 123 x)n 的展开式中，第 6项为常数项(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项【思路分析】写出通项，由第
5、6项为常数项可求n；由通项可求含x2项的系数和有理项【解】(1)通项为 Tr1Crnxnr3 12rxr3Crn12rxn2r3，因为第 6 项为常数项，所以 r5 时，有n2r30，即 n10.(2)令n2r32，得 r12(n6)12(106)2，所求的系数为 C210122454.(3)根据通项公式，由题意102r3Z，0r10，rN.令102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r532k，rN，k 应为偶数k 可取 2,0，2，即 r 可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C210(12)2x2，C510125，C810128x2.【名师点评】
6、求二项展开式中的特定项，需要用到二项式的通项公式因而对通项的化简整理是解题的关键变式训练 1 二项式(3x 2x)n 的展开式中第 9项是常数项，求 n 的值解：二项式(3x 2x)n 的展开式的通项是 Tr1Crn(3x)nr(2x)rCrn3nr(2)rxn32 r，依题意得 n3280，n12.求系数最大项问题根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 例2已知(3 xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求(2x1x)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项【思路
7、分析】根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解【解】(1)由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得 n5.由二项式系数的性质知，(2x1x)10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大即 T6C510(2x)5(1x)58064.(2)设第 r1 项的系数的绝对值最大，Tr1Cr10(2x)10r(1x)r(1)rCr10210rx102r，Cr10210rCr110 211r，Cr10210rCr110 210r1，得Cr102Cr1102Cr10Cr110，即11r2r2r110r，解得83r113.rZ，r3，故系数的绝对值最
8、大的是第 4 项，T4C31027x415360 x4.【名师点评】在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关变式训练 2 已知 f(x)(3 x23x3)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：(1)令x1，则二项式各项系数和为f(1)(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n3
9、2)0，2n31(舍)或2n32，n5.由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3C25(x23)3(3x2)290 x6，T4C35(x23)2(3x2)3270 x223.(2)展开式通项为 Tr1Cr53rx23(52r)假设 Tr1 项系数最大，则有Cr53rCr153r1，Cr53rCr153r1.5！5r！r！35！6r！r1！，5！5r！r！35！4r！r1！3.3r 16r，15r 3r1.72r92，rN，r4.展开式中系数最大项为 T5C45x23(3x2)4405x263.求展开式中各项系数的和(1)对 形如(ax b)n、(ax2 bx c)m(
10、a、b、cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为a1a3a5f1f12.例3若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a7a6a1；(2)a7a5a3a1；(3)a6a4a2a0.【思路分析】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法即“赋值法”整体解决【解】(1)令 x0，则 a01；令 x1，则 a7a6a1a027128
11、，a7a6a1129.(2)令 x1，则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由2得：a7a5a3a112128(4)78256.(3)由2得 a6a4a2a012128(4)78128.【名师点评】本题考查二项式系数与各项系数的区别，对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数特别是对系数求和问题的一个重要手段方法感悟 方法技巧1求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr1.有时还需先求n，再求r，才能求出Tr1.2有些三项式展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏 3对于
12、二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段(1)求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；(2)关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)证明不等式时，应注意运用放缩法4近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中若干项5用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来解决6运用二项式定理一定要牢记通项 Tr1Crnanrbr，注意(ab)n 与(ba)n 结果虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是
13、不相同的，我们一定要注意字母顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指 Crn，而后者是字母外的部分7二项式定理中，二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0nCnn，C1nCn1n，C2nCn2n，CrnCnrn.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大(3)二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCnn2n.(4)二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和，即C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.失误防范1要把“
14、二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来2根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错3通项公式是第r1项而不是第r项考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思想、等价转化思想 预测2012年江苏高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用真题透析 例(2010 年高考浙江卷)设 n2，nN，(2x12)n(3x 13)n a0 a1x a2x2 anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为
15、 Tn，则 T20，T3 123133，T40，T5125 135，Tn，其中 Tn_.【解析】|ak|Cnkn2k(12)n kCnkn3k(13)nk|Ckn(22kn32kn)|Ckn|22kn32kn|.若 n 为偶数，则当 n2k，即 2kn0 时，|ak|0，即 Tn0.若 n 为奇数，|ak|Ckn|22kn32kn|，则k0 时，C0n最小，|22kn32kn|最小，故|ak|最小，即 Tn 12n 13n.综上，Tn0 n为偶数，12n 13n n为奇数.【答案】0 n为偶数12n 13n n为奇数【名师点评】本题考查二项式定理及通项公式以及利用分类讨论的数学思想解决最值问题
16、，同时考查学生的运算能力解答此题关键是对n的奇偶性进行讨论名师预测 1已知(x21x)n 的二项展开式的各项系数和为 32，则二项展开式中 x 的系数为_解析：由已知可得展开式的系数也为二项式系数，故 2n32n5，此时 Tr1Cr5x103r，据题意令 103r1r3，因此展开式中 x 项的系数为 C3510.答案：102已知(xax)8 的展开式中常数项为 1120，其中 a 为常数，则展开式中各项系数的和为_解析：Tr1Cr8x8r(ax)rCr8(a)rx82r为常数项，r4，且 C48(a)41120，a416，a2.当 a2 时，令 x1，得各项系数和为 1，当 a2 时，令 x1，得各项系数和为 38.答案：1或383在二项式(x21x)5 的展开式中，含 x4 的项的系数是_解析：Tr1Cr5x2(5r)(x1)r(1)rCr5x103r(r0,1，5)，由 103r4 得 r2.含 x4 的项为 T3，其系数为 C2510.答案：10本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用