1、第10章概率第一节 随机事件的概率及互斥事件 第一节 随机事件的概率及互斥事件 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1概率(1)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，则用这个常数来刻画随机事件A发生的_，并把这个常数称为随机事件A的_，记为_ 可能性大小概率P(A)(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 2互斥事件与对立事件(1)_ 的两个事件称为互斥事件
2、 如果事件A1，A2，An中的任何两个都是互斥事 件，那 么 就 说 事 件 A1，A2，An_设A、B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，把这个事件记为_.(2)对立事件：两个互斥事件_，则称这两个事件为对立事件事件A的对立事件通常记为.不能同时发生 彼此互斥 AB 必有一个发生A3概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_(2)必然事件的概率P()_.(3)不可能事件的概率P()_.(4)概率的加法公式 如 果 事 件 A 与 事 件 B 互 斥，则 P(A B)_(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件 P(AB)_，P(A)_ 0,110P(A)P(B)
3、1P(B)1思考感悟事件A、B是一对互斥事件，则它们一定有一个发生另一个不发生，这种说法是否正确？提示：不正确互斥事件是说事件不能同时发生,并不是说互斥事件一定有一个发生，事件A、B可以都不发生 课前热身 1下列事件中是随机事件的为_ 物体在只受重力的作用下会自由下落；方程x22x80有两个实根；某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；下周六会下雨 答案：2(2011年镇江质检)下列说法：频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；百分率是频率，但不是概率；频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具
4、有确定性的不依赖于试验次数的理论值；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 其中正确的是_ mn答案：3某入伍新兵在打靶练习中，连续射击2次，则事 件“至 少 有 1 次 中 靶”的 互 斥 事 件 是_ 解析：事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶2次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“2次都不中靶”与之互斥 答案：2次都不中靶 4甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是_ 答案：70%考点探究挑战高考 随机事件的频率与概率 考点突破 概率是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数增多时，所得的频率就近似地当作事件的概率 例1某篮球运动员在
5、最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数 n8 10 12 91016进球次数 m 6897712进球频率mn(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？【思路分析】频率：在相同条件下重复做 n次试验，事件 A 出现的次数 m 为事件 A 出现的频数，fn(A)mn为事件 A 的频率随着试验次数的增多，频率接近概率【解】(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为6834，81045，91234，79，710，121634.(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为34.【名师点评】从本
6、例可以看出，频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率 随机事件及概率 对随机事件的理解应包含下面两个方面：(1)随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究(2)随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性 例2盒中只装有4只白球和5只黑球，从中任意取出一只球(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的
7、概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？【思路分析】此题是概念题，在理解必然事件、不可能事件、随机事件及概率定义的基础上，容易作出正确解答【解】(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件，它的概率为 0.(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率为49.(3)“取出的球是白球或是黑球”在题设条件下必然要发生，因此，它是必然事件，它的概率为 1.【名师点评】由本例看到：不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看做是随机事件的两个极端情况，用这种既对立又统一的观点去看待它
8、们，有利于认识它们之间的内在联系变式训练1 在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽出3个检验，据此列出其中的不可能事件，必然事件，随机事件 解：从10个产品中任意抽出3个检验，共出现以下三种可能结果：“抽出3个正品”，“抽出2个正品，1个次品”，“抽出1个正品，2个次品”不可能事件是：“抽到3个次品”；必然事件是：“至少抽到1个正品”；随机事件是：“抽到3个正品”，“抽到2个正品，1个次品”，“抽到1个正品，2个次品”互斥事件与对立事件的概率应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将
9、所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误 一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率 例3【思路分析】设事件 分析事件的性质 根据互斥事件概率求解【解】记事件 A任取 1 球是红球；B任取 1 球是黑球；C任取 1 球是白球；D任取 1 球是绿球，则 P(A)512，P(B)412，P(C)212，P(
10、D)112.(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为P1P(A)P(B)512 41234.(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为P2P(A)P(B)P(C)512 412 2121112.或 P21P(D)1 1121112.【名师点评】(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率之和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“
11、至多”、“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便变式训练2 一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为_ 解析：P11253132.答案：3132方法感悟 方法技巧1必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化 2必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0P(A)1.3随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn总是接近于常数 P(A)，称 P(A)为事件 A 的概率4求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件 A
12、的对立事件 A的概率，然后利用 P(A)1P(A)可得解失误防范1正确区别互斥事件与对立事件的关系；对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件2从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，事件 A的对立事件 A所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集3需准确理解题意，特别留心“至多”，“至少”，“不少于”等语句的含义考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考试题来看，对随机事件的概率未作独立考查，本节知识较基础，一般在大题中对随机事件的概念进行考查 预测2012年江苏高
13、考对随机事件的概率可能有所考查，注重基本概念的理解及随机事件概率的求法 规范解答 例(本题满分14分)(2009年高考天津卷)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工 厂 进 行 调 查 已 知 A，B，C 区 中 分 别 有18,27,18个工厂(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率【解】(1)工厂总数为 18271863，样本容量与总体中的个体数的比为 76319，2 分所以从 A，B，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,
14、3,2.6 分(2)设 A1，A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂，B1，B2，B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂，C1，C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂.7 分在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种.9分随机地抽取的 2 个工厂中
15、至少有 1 个来自 A 区的结果(记为事件 X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11 种.12 分所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)1121.14 分【名师点评】本题在解决时存在的主要问题是列举事件的基本事件时会出现遗漏，书写时按照一定的事件顺序去写，这样会不重不漏，从而得出正确的结果 名师预测 1某城市2010年的空气质量状况如下表所示：污染指数 T3060 100 110 130140概率 P110161373
16、0215130其 中 污 染 指 数 T50 时，空 气 质 量 为 优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为_ 解析：概率为 110161335.答案：352采用简单随机抽样，从含有10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，这个总体中的个体x前3次没有被抽到，第4次被抽到的概率是_ 解析：简单的随机抽样为等概率抽样，所以为110.答案：1103从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量 为(单 位：克)，如 果 P(30)_.解析：P(30)1P(10)P(1030)10.30.40.3.答案：0.3 4某种电子元件在某一
17、时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为_ 解析：设电子元件接通记为 1，没有接通记为 0.又设 A 表示“3 个电子元件至少有一个接通”，显然 A表示“3 个电子元件都没有接通”，表示“3 个电子元件的状态”，则(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,0,0)由 8 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，A(0,0,0)，事件 A由 1 个基本事件组成，因此 P(A)18，P(A)P(A)1，P(A)1P(A)11878.答案：78本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用