1、第3讲 平面向量 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015课标全国)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43ACB.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC1 2 3 4解析 BC3CD，AC AB3(AD AC)，即 4ACAB3AD，AD 13AB43AC.答案 A 1 2 3 42.(2015四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM 3MC，DN 2NC，则AM NM 等于()A.20
2、B.15C.9D.6 解析 AM AB34AD，NM CM CN 14AD 13AB，1 2 3 4AM NM 14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB 29AD 2)148(1662942)9，选 C.答案 C 1 2 3 43.(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析 a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即2mn9，m2n8，解得m2，n5，故mn253.31 2 3 44.(2015浙江)已知 e1，e2 是空间单位向量，e1e212，若空间向量 b 满足 be12，be25
3、2，且对于任意 x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则 x0_，y0_，|b|_.1 2 3 4解析 方法一 对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，说明当xx0，yy0时，|b(xe1ye2)|取得最小值1.|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成关于x的二次函数，即f(x)x2(y4)xy25y，1 2 3 4其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x2y2，所以当 x2y2
4、时，f(x)取得最小值，代入化简得 f(x)34(y2)27，显然当 y2 时，f(x)min7，此时 x2y21，所以 x01，y02.此时|b|271，可得|b|2 2.1 2 3 4方法二 e1e2|e1|e2|cose1，e212，e1，e23.不妨设 e112，32，0，e2(1,0,0)，b(m，n，t).由题意知be112m 32 n2，be2m52，1 2 3 4解得 n 32，m52，b52，32，t.b(xe1ye2)5212xy，32 32 x，t，|b(xe1ye2)|252x2y 232 32 x 2t2x2xyy24x5yt27xy42234(y2)2t2.1 2
5、3 4由题意知，当 xx01，yy02 时，xy42234(y2)2t2 取到最小值.此时 t21，故|b|522322t22 2.答案 1 2 2 2 考情考向分析 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算热点分类突破(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向
6、量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.例 1(1)(2014陕西)设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan _.解析 因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为 00，得 2sin cos，tan 12.12(2)如图，在ABC 中，AF13AB，D 为 BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若ABa，ACb，且CExayb，则 xy_.解析 如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF.因为 AF13AB，所以 F 为
7、 AM 的中点，E 为 AD 的中点.方法一 因为ABa，ACb，D 为 BC 的中点，所以AD 12(ab).所以AE12AD 14(ab).所以CE CAAEACAEb14(ab)14a34b.所以 x14，y34，所以 xy12.方法二 易得 EF12MD，MD12CF，所以 EF14CF，所以 CE34CF.因为CF CAAFACAFb13a，所以CE34(b13a)14a34b.所以 x14，y34，则 xy12.答案 12 思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.跟踪演练 1(1
8、)已知向量 i 与 j 不共线，且ABimj，AD nij，m1，若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 满足的条件是()A.mn1 B.mn1C.mn1 D.mn1解析 因为A，B，D三点共线，所以ABAD imj(nij)，m1，又向量 i 与 j 不共线，所以 1n，m，所以mn1.答案 C(2)(2015北京)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_.解析 如图，MN MC CN13AC 12CB13AC 12(ABAC)12AB16AC，x12，y16.答案 12 16热点二 平面向量的数量积(1)数量积的定义：ab|a|b|cos
9、.(2)三个结论 若 a(x，y)，则|a|aax2y2.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.例 2(1)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD 的值是_.解析由CP3PD，得DP 14DC 14AB，APAD DP AD 14AB，BPAPABAD 14ABABAD 34AB.因为APBP2，所以(AD 14AB)(AD 34AB)2，即AD 212AD AB 316AB 22.又因为
10、AD 225，AB 264，所以ABAD 22.答案 22 (2)在AOB 中，G 为AOB 的重心，且AOB60，若OA OB 6，则|OG|的最小值是_.解析 如图，在AOB 中，OG 23OE 2312(OA OB)13(OA OB)，又OA OB|OA|OB|cos 606，|OA|OB|12，|OG|219(OA OB)219(|OA|2|OB|22OA OB)19(|OA|2|OB|212)19(2|OA|OB|12)19364(当且仅当|OA|OB|时取等号).|OG|2，故|OG|的最小值是 2.答案 2 思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积
11、的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.跟踪演练 2(1)(2015山东)过点 P(1，3)作圆 x2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则PAPB_.解析 由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，P(1，3)，PAx 轴，PAPB 3.POA 为直角三角形，其中 OA1，AP 3，则 OP2，OPA30，APB60.PAPB|PA|PB|cosAPB 3 3cos 6032.32(2)(2014课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.解析 AO 12(ABAC)，点O是A
12、BC中边BC的中点，BC 为直径，根据圆的几何性质有AB，AC90.90热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.例3 已知向量a(cos，sin)，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，其中0 x.(1)若 4，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x 的值；解 b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，4，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin
13、xcos x 2(sin xcos x).令 tsin xcos x4x，则 2sin xcos xt21，且1t 2.则 yt2 2t1t 22232，1t 2，t 22 时，ymin32，此时 sin xcos x 22，即 2sinx4 22，4x，2x454，x476，x1112.函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112.(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan 2 的值.解 a 与 b 的夹角为3，cos 3 ab|a|b|cos cos xsin sin xcos(x).0 x，0 xc，已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a和c的值；解 由
14、BABC2 得 cacos B2.又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又 b3，所以 a2c29261313.解 ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.因为ac，所以a3，c2.(2)cos(BC)的值.解 在ABC 中，sin B1cos2B11322 23，由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 23 4 29.因为abc，所以C为锐角，因此 cos C1sin2C14 29 279.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C 13792 23 4 29 2327.高考押题精练 1 2 3 41.如图，在ABC 中
15、，AD 13AB，DEBC交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N，设ABa，ACb，用 a，b 表示向量AN.则AN等于()A.12(ab)B.13(ab)C.16(ab)D.18(ab)1 2 3 4押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础.解析 因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以ANAMADAB.因为AD 13AB，所以AN13AM.因为M为BC的中点，1 2 3 4所以AM 12(ABAC)12(ab)，所以AN 13AM 16(ab).故选 C.答案 C 1 2 3 42.如图，BC、DE 是半径为 1
16、 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则FD FE等于()A.34B.89C.14D.49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式.1 2 3 4解析 BF2FO，圆 O 的半径为 1，|FO|13，FD FE(FO OD)(FO OE)FO 2FO(OE OD)OD OE(13)20189.答案 B 1 2 3 43.已知向量 a(1,2)，b(cos，sin)，且 ab，则 tan(24)_.押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点.解析 因为a(1,2)，b
17、(cos，sin)，且ab，所以cos 2sin 0，1 2 3 4则 tan 12.所以 tan 2 2tan 1tan243.所以 tan(24)tan 2tan41tan 2tan44311431137317.答案 171 2 3 44.如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，AOB60，C 为弧上的动点，AB 与 OC 交于点 P，则OP BP最小值是_.押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中.1 2 3 4解析 因为OP OB BP，所以OP BP(OB BP)BPOB BP(BP)2.又因为AOB60，OAOB，OBA60.OB1.所以OB BP|BP|cos 12012|BP|.所以OP BP12|BP|BP|2(|BP|14)2 116 116.故当且仅当|BP|14时，OP BP最小值是 116.答案 116