1、第3讲 数列的综合问题 专题三 数列与不等式 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 21.(2015湖南)已知a0，函数f(x)eaxsin x(x0，).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点，证明：数列f(xn)是等比数列.证明 f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)a21eaxsin(x)，其中 tan 1a，02.1 2令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，对kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，则f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1
2、)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反.1 2于是当xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nN*).此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin.易知 f(xn)0，而fxn1fxn 1n2ean1sin 1n1eansin ea是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin，公比为ea的等比数列.1 22.(2014课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an12是等比数列，并求an的通项公式；解 由 an13an1，得 an1123(an12).又 a11232，所以an12是首项为32，公比为 3 的等比数列.an123n
3、2，因此an的通项公式为 an3n12.1 2(2)证明 1a1 1a2 1an32.证明 由(1)知 1an23n1.因为当n1时，3n123n1，所以13n1123n1.于是 1a1 1a2 1an113 13n132(1 13n)32.所以 1a1 1a2 1an0，所以anan10，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n.答案 an2n 热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将
4、条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.(1)求数列an的通项公式；例 2 若数列an的前 n 项和为 Sn，点(an，Sn)在 y1613x的图象上(nN*).解 Sn1613 an，当 n2 时，anSnSn113an113an，an14an1.又S11613 a1，a118，an18(14)n1(12)2n1.(2)若 c10，且对任意正整数 n 都有1nc cn .求证：对任意正整数 n2，总有131c21c31c41cn34.证明 由1nc nc 2n1，得当 n2 时，nc 1c(2c 1c)(3c 2c)(nc 1nc )0
5、35(2n1)n21(n1)(n1).12logna12logna1c21c3 1c41cn1221132114211n2112(113)(1214)(1315)(1n1 1n1)12(112)(1n 1n1)3412(1n 1n1)34.又1c2 1c31c41cn1c213，原式得证.思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩.跟踪演练2 已知数列an满足：a11，a22，且an12an3an1(n2，n
6、N*).(1)设bnan1an(nN*)，求证：bn是等比数列；证明 由已知得an1an3(anan1)(n2，nN*)，则bn3bn1.又b13，则bn是以3为首项、3为公比的等比数列.(2)求数列an的通项公式；解 由 an1an3n 得an13n113an3n13，设 cnan3n，则 cn113cn13，可得 cn11413(cn14)，又 c113，故 cn14 112(13)n1，则 an3n1n4.求证：对任意的 nN*都有 1a1 1a21a2n1 1a2n74成立.证明 1a2n1 1a2n432n11432n1432n132n32n1132n1432n132n32n132n
7、 432n1 432n，故 1a1 1a21a2n1 1a2n112 433 434 432n1 432n3229(1132n2)32293118623680，当n7时，由于S6570，Snn故Sn570(a7a8an)570703441(34)n6780210(34)n6.因为an是递减数列，所以An是递减数列.因为 AnSnn 78021034n6n，A8780210342882.73480，A9780210343976.8230 且 a1)的图象上一点，数列bn的前 n 项和Snf(n)1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求证：数列1anln bn1的前 n 项和 Tn0，所以 Tn 12ln 2.