1、专题一 思想方法突破 角度一 角度二 角度三 一 函数与方程思想 函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想.建立方程或方程组或构造方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.角度一 解决图象交点或方程根的问题典例 1(2017山东青岛模拟)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f(x4)f(x)，且当 x2,0时，f(x
2、)13x6.若在区间(2,6内关于 x 的方程 f(x)loga(x2)0(a1)恰有 3个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是_解析：由 f(x4)f(x)，即函数 f(x)的周期为 4，因为当 x2,0时，f(x)13x6.所以若 x0,2，则x2,0，则 f(x)13x63x6，因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)3x6f(x)，即 f(x)3x6，x0,2，由 f(x)loga(x2)0 得 f(x)loga(x2)，作出函数 f(x)的图象如图所示当 a1 时，要使方程 f(x)loga(x2)0 恰有 3 个不同的实数根，则等价于函数 f(x)与 g(x)loga(x2)有 3
3、 个不同的交点，则满足g2f2，g6f6，即loga43，loga83，解得3 4a2，故 a 的取值范围是(3 4，2)，答案：(3 4，2)1应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题2含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决自我挑战(2017广东广州模拟)已知函数 f(x)12xcos x，则方程 f(x)4所有根的和为()A0 B.4C.2D.32C解析：选 C.方程 f(x)4的根，即12xcos x4的根，也就是函数 y12x4与函数 ycos x 交点的横坐标，易知两个图象只有一个交点2，0，所以 f(x)4所
4、有根的和为2.故选 C.角度二 解决与不等式有关的问题典例 2(2017山东聊城二模)已知函数 f(x)ln x14x 34x1，g(x)x22bx4，若对任意 x1(0,2)，x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则实数 b 的取值范围为_解析：问题等价于 f(x)ming(x)max.f(x)ln x14x 34x1，所以 f(x)1x14 34x24xx234x2，令 f(x)0 得 x24x30，解得 1x3，故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1 是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以
5、f(x)minf(1)12.由于函数 g(x)x22bx4，x1,2当 b1 时，g(x)maxg(1)2b5；当 1b2 时，g(x)maxg(b)b24；当 b2 时，g(x)maxg(2)4b8.故问题等价于b1，122b5或 1b2，12b24或b2，124b8.解得 b1 或 1b 142，所以 b 142.答案：，1421方法：在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题2注意点：要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数自我挑战
6、(2017陕西西安二模)已知函数 f(x)x24x4，若存在实数 t，当 x1，t时，f(xa)4x(a0)恒成立，则实数 t 的最大值是()A4 B7C8 D9D解析：选 D.作函数 f(x)x24x4(x2)2 的简图如图所示由图象可知，当函数 yf(xa)的图象经过点(1,4)时，有 x1，t，f(xa)4x(a0)恒成立，此时 t 取得最大值，由(1a)24(1a)44，得 a5 或 a1(舍)，所以 4t(t52)2，所以 t1(舍)或 t9，故 t9.角度三 解决最值或参数范围问题典例 3(2017湖北武汉模拟)直线 ya 分别与曲线 y2(x1)，yxln x 交于点 A，B，则
7、|AB|的最小值为()A3B2C.3 24D.32D解析：当 ya 时，2(x1)a，所以 xa21.设方程 xln xa 的根为 t，则 tln ta，则|AB|ta21ttln t21 t2ln t2 1.设 g(t)t2ln t2 1(t0)，则 g(t)1212tt12t，令 g(t)0，得 t1，当 t(0,1)时，g(t)0；当 t(1，)时，g(t)0，所以 g(t)ming(1)32，所以|AB|32，所以|AB|的最小值为32.1充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解2充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解3当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决4当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数自我挑战如图，A 是单位圆与 x 轴的交点，点 P 在单位圆上，AOP(0)，OQ OA OP，四边形 OAQP 的面积为 S，当OA OPS 取得最大值时 的值为()BA.6B.4C.3D.2解析：选 B.由OQ OA OP，知四边形 OAQP 为平行四边形，故OA OP S|OA|OP|cos|OA|OP|sin cos sin 2sin4，所以 4时，有最大值 2.
