1、9.1直线与方程1平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|_(2)平面直角坐标系中的基本公式：两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为d(A，B)|AB|_线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则2直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴_或_时，我们规定它的倾斜角为0.因此，直
2、线的倾斜角的取值范围为_(2)斜率：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k_(_)当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k_0；当直线的倾斜角为锐角时，k_0；当直线的倾斜角为钝角时，k_0；倾斜角为_的直线没有斜率倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k3直线方程的几种形式(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的_叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的_叫做直线l在y轴上的截距注：截距_距离(填“是”或“不是”)(2)直线方程的五种形式：名称方程
3、适用范围点斜式k存在斜截式k存在两点式截距式a0且b0一般式平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为_；若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为_；若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为_；若x1x2，且y1y20，直线即为x轴，方程为_自查自纠1(1)|x2x1|(2)2(1)正向平行重合00，kPA0，故k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为.故填1，1；.(2)如图所示，直线l1的倾斜
4、角130，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率k1_，直线l2的斜率k2_解：由图可知，2190120，则直线l1的斜率k1tan1tan30，直线l2的斜率k2tan2tan120，故填；.【点拨】直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式ktan联系在使用过两点的直线的斜率公式k时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为xx1.在已知两点坐标，求倾斜角的
5、值或取值范围时，用tank转化，其中倾斜角0，)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题(1)直线xcosy20的倾斜角的取值范围是_解：设直线的倾斜角为，依题意知，kcos，cos1，1，k，即tan.又0，)，.故填.(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1，1)和Q(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解：如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl，2或，解得0m或m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为.故填.类型二求直线方程根据所给条件求直线的方程(1)直线过
6、点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为，则sin(0，)，从而cos，则ktan.故所求直线的方程为y(x4)，即x3y40.(2)若截距不为0，设直线的方程为1，直线过点(3，4)，1，解得a1.此时直线方程为xy10.若截距为0，设直线方程为ykx，代入点(3，4)，有43k，解得k，此时直线方程为4x3y0.综上，所求直线方程为xy10或4x3y0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x50.当直线斜率存在时，设其方程为y10
7、k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.此时直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.【点拨】本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线求满足下列条件的所有直线的方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍解：(1)根据题意，设直线l在x，y轴上
8、的截距均为a，若a0，即l过点(0，0)和(4，1)，l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(4，1)，1，得a5.l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(2)由已知设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan3，tan2.又直线经过点(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.类型三直线方程的应用(1)已知点A(4，1)，B(8，2)和直线 l：xy10，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|PB|的最小值为_解：设点A1(x1，y1)与A(4，1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，|P0A1|P0A|，|
9、PA1| |PA|.|PA|PB|PA1| |PB|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|.当P点运动到P0点时，|PA|PB|取到最小值|A1B|.点A，A1关于直线l对称，由对称的充要条件知， 解得 即A1(0，3)(|PA|PB|)min|A1B|.故填.【点拨】平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点当|OA|OB|最小时，求l的方程；若|PA|PB|最小，求l的方程解：依题意，l的斜率存
10、在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.|PA|PB|48(k0)，当且仅当k且k0.S|OA|OB|12k|(224)4，当且仅当4k且k0，即k时等号成立，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.1直线的倾斜角和斜率的关系，可借助ktan的图象(如图)来解决这里，0，)，k的范围是两个不连续的区间这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应
11、对斜率存在或不存在分类进行讨论2直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况3在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单4对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般
12、式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2B20而出现增解1下列命题中，正确的是()A直线的斜率为tan，则直线的倾斜角是B直线的倾斜角为，则直线的斜率为tanC直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率ktan，且0，)时，才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角0，)，而当时，直线的斜率不存在，所以B不对；当时，斜率大于0；当时，斜率小于0，C不对故选D.2已知直线的倾斜角为120，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解：ktan120，且直线在y轴上的截距为2，由斜截式得yx2.
13、故选C.3已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是()A1 B1 C2或1 D2或1解：显然a0，由题意得a2，解得a2或1.故选D.4将直线l沿y轴的负方向平移a(a0)个单位，再沿x轴正方向平移a1个单位得直线l，此时直线l与l重合，则直线l的斜率为()A. BC. D解：设直线l的倾斜角为，则根据题意，有tan()tan，ktan.故选B.5()过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且aN*，bN*，则可作出的直线l的条数为()A1 B2 C3 D4解：设直线l的方程为1，由题意得1，变形得(a1)(b3)3.又aN*，bN*，或故选B.6()已
14、知点A(1，0)，B(cos，sin)，且，则直线AB的方程为()Ayx或yxByx或yxCyx1或yx1Dyx或yx解：，cos，sin.当点B的坐标为时，直线AB的方程为yx；当点B的坐标为时，直线AB的方程为yx.故选B.7直线l：xsin30ycos15010的斜率是_解：由题意得直线l的斜率ktan30，直线l的斜率为.故填.8()在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解：在四边形ABCD所在平面内任取一点P，则PAPCAC，PBPDBD，PAPBPCPDACBD，当且仅当P为AC与BD的交点时取等号，此时点P到点A
15、，B，C，D的距离之和最小易知直线AC的方程为y2x，直线BD的方程为yx6，联立解得即所求点P的坐标为(2，4)故填(2，4)9已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程解：设所求直线l的方程为1.k，得a6b.又S|a|b|3，|ab|6.联立得或所求直线方程为：1或1，即x6y60或x6y60.10已知ABC的三个顶点分别为A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)直线BC经过B(2，1)和C(2，3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)
16、易得BC边的中点D的坐标为(0，2)，BC边的中线AD过点A(3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0，2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.11已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解法一：设直线l的方程为1(a0，b0)，将点P(3，2)代入得12，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线l的方程为2x3y120.
17、解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k0，可设直线l的方程为y2k(x3)(k0)，则A，B(0，23k)，SABO(23k)(1212)12，当且仅当9k，即k时，等号成立ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x3y120. 已知ABC中，顶点A(4，5)，点B在直线l：2xy20上，点C在x轴上，求ABC周长的最小值解：设点A关于直线l：2xy20的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时ABC的周长取最小值，且最小值为.A1与A关于直线l：2xy20对称，解得A1(0，7)易求得A2(4，5)，ABC周长的最小值为4.