1、10.4随机事件的概率1随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的_(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的_必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的_(4)_和_统称为事件，一般用大写字母A，B，C，表示2频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_，称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的_fn(A)稳定在某个常数上，把这个_记
2、作P(A)，称为事件A的_(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为_3事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_事件A(或称事件A包含于事件B)(或AB)相等关系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件AB(或AB)互斥事件若_为不可能事件，则事件A与事件B互斥AB_对立事件若_为不可能事件，_为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB_P(AB)P
3、(A)P(B)_拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：若事件A发生，则事件B就不发生；若事件B发生，则事件A就不发生；事件A，B都不发生两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况因此，互斥未必对立，但对立一定互斥4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率P(E)_.(3)不可能事件的概率P(F)_.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_.推广：如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1A2An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1A2An)_.若事件B与事件A互
4、为对立事件，则P(A)_.自查自纠1(1)必然事件(2)不可能事件(3)随机事件(4)确定事件随机事件2(1)频数(2)频率常数概率(3)小概率事件3包含BAAB或且ABABAB14(1)0P(A)1(2)1(3)0(4)P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)1P(B) ()我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石 C338石 D1365石解：依题意，这批米内夹谷约为1534169石，故选B. ()把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人
5、，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D不是互斥事件解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件故选C. ()从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是()A事件A发生的概率等于B事件A发生的概率等于C事件A是不可能事件D事件A是必然事件解：从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件A是必然事件故选D. ()从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_解：P.故填
6、. ()袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_解：所求概率为1.故填.类型一随机事件的概念同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在213之间”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，故此事件是不可能事件，其概率为0.(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在213之间，它是必然事件，其概率为1.(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件事件“点数之和是7”包含的基本事件有
7、1，6，2，5，3，4，4，3，5，2，6，1共6个，因此该事件的概率P.【点拨】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑
8、球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.类型二对立与互斥的概念判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生解：(1)是互斥事件道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件(2)
9、不是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生(3)不是互斥事件道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生(4)是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生【点拨】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断注意：事件
10、的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系在10件产品中有8件正品、2件次品，从中任取3件：(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件吗？(2)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是对立事件吗？解：(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”都是随机事件，且不可能同时发生，二者是互斥事件；(2)“恰有2件次品”即“2件次品1件正品”， “至多有1件次品”即“3件正品”或“1件次品2件正品”，它们不可能同时发生且并起来是必然事件， 二者是对立事件类型三互斥与对立的运用(初步)经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表
11、：排队人数012345概率0.100.160.300.300.100.04(1)求至多2人排队的概率；(2)求至少1人排队的概率解：设没有人排队为事件A，恰有1人排队为事件B，恰有2人排队为事件C，至多2人排队为事件D，至少1人排队为事件E，则事件A，B，C两两互斥，事件A和E是对立事件，并且DABC.由表格中的数据得P(A)0.10，P(B)0.16，P(C)0.30.(1)至多2人排队的概率为P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.100.160.300.56.(2)至少1人排队的概率为P(E)1P(A)10.100.90.【点拨】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事
12、件分拆为几个互斥事件当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率()黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A，B，C，D，它们是互斥的由已知，有P(A)0.28，P(B)0.
13、29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件BD，根据概率加法公式，得P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)解法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.解法二：“任找一个人，其血不能输给小明”的对立事件是“任找一个人，其血可以输给小明”，由对立事件概率公式结合(1)知所求概率为10.640.36.1概率与频率的关系(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数
14、无关(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值2互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念互斥事件是两个不可能同时发生的事件；对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，事件A与B互斥，即集合AB；事件A与B对立，即集合AB，且ABI(全集)，也即AIB或BIA；对互斥事件A与B的和AB，可理解为集合AB.3求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)
15、1P()，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便1给出下列事件：同学甲竞选班长成功；两队比赛，强队胜利；一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；若集合A，B，C满足AB，BC，则AC；古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写了“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；七月天下雪；从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；骑车通过10个十字路口，均遇红灯其中属于随机事件的有()A3个 B4个 C5个 D6个解：为随机事件故选B.2()从
16、1，2，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述4对事件中，是对立事件的是()A B C D解：从9个数字中任取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶，故只有中两事件是对立事件故选C.3()某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则抽查一件产品，恰好是正品的概率为()A0.99 B0.98 C0.97 D0.96解：由互斥与对立的概念，知所求概率为1(0.030.01)0.96.故选D.4()5张卡片上分别写有数字1，2，3
17、，4，5，从这5张卡片中一次随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为偶数的概率为()A. B. C. D.解：数字之和为偶数，则取出的2张卡片上的数字为2个奇数或2个偶数，故所求为.故选B.5()若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线xy4左下方的概率为()A. B. C. D.解：试验是连续掷两次骰子，故共包含6636个基本事件事件“点P(m，n)落在直线xy4左下方”，则m，n满足mn4，包含(1，1)，(1，2)，(2，1)共3个基本事件，故所求概率P.故选C.6一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体
18、均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是()A. B. C. D.解：每条棱上有8块，共有81296块，所求概率为.故选D.7口袋内有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率是_解：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A，B，C，由条件P(AB)P(A)P(B)0.65，P(BC)P(B)P(C)0.6，又P(AB)1P(C)，P(C)0.35，P(B)0.25.或用0.650.610.25.故填0.25.8()甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么甲是乙的_
19、条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四者之一)解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立故填必要不充分9抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(AB)解法一：因为AB的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1，2，3，5四个可能结果之一时，AB就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P(AB).解法二：记事件C为“朝上一面的数为2”，则ABAC，且A与C互斥又因为P(C)，P(A)，所以P(AB)P(AC)P(A)P(C).解法三：记
20、事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件AB不发生又事件AB发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件AB与事件D为对立事件因为P(D)，所以P(AB)1P(D)1.10在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验(1)求所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3的概率解：设“所选用的两种
21、不同添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.从六种不同芳香度的添加剂中随机选两种有C15种选取方法(1)“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4”的选法有2种：(0，4)，(1，3)，故P(A).(2)“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和小于3”的选法有2种：(0，1)，(0，2)，故P(B)1.11()某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y5
22、1484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率解：(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为46.(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48). 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从中任取一球，分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.由于A，B，C，D为互斥事件，根据已知得解得从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.